szukanie zaawansowane
 [ Posty: 15 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lut 2018, o 18:05 
Użytkownik

Posty: 30
Lokalizacja: Grzebień
Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu takich zadań (wysyłajcie pojedynczo, po kilka itp.). Nie znalazłem rozwiązań do tych zadań.

1. (I Etap) Przy każdym wierzchołku 55-kąta foremnego napisano liczbę całkowitą. Żadna z tych liczb nie jest podzielna przez 5. Wykaż, że istnieją takie dwie liczby a i b, napisane przy sąsiednich wierzchołkach tego wielokąta, że liczba a ^{2} - b ^{2} jest podzielna przez 5.

2. (I Etap) Udowodnij, że nie istnieją dodatnie liczby nieparzyste a i b spełniające równanie a ^{2}  - b  ^{3} =4.

3. (I Etap) Czworościan foremny o krawędzi 1 przecięto płaszczyzną tak, że w przekroju otrzymano czworokąt. Jaki jest najmniejszy możliwy obwód tego czworokąta? Odpowiedź uzasadnij.

4. (Obóz)
Na obozie matematycznym jest 202 uczniów. Każdemu z nich przypisano liczbę jego znajomych wśród pozostałych uczestników. Rozstrzygnij, czy musi istnieć trójka uczniów, którym przypisano liczby dające tę samą resztę z dzielenia przez 101. Uwaga. Przyjmujemy, że jeśli A jest znajomym B , to B jest znajomym A ..

5. (Obóz) Dany jest trójkąt ABC, w którym <)BAC= 120◦. Na zewnątrz tego trójkąta zbudowano trójkąty równoboczne ABD, BCE, CAF. Udowodnij, że pole trójkąta BCE jest równe polu pięciokąta wklęsłego ADBCF. PS nie znalazłem symbolu kąta i stopnia...

6. (Obóz) Komisja Finansowa liczy sześć osób, w tym przewodniczący. Należy zamontować w skarbcu jak najmniejszą liczbę zamków i rozdać klucze członkom komisji tak, aby spełnione były następujące warunki:
• każdych czterech członków KF może otworzyć skarbiec,
• żadnych dwóch członków KF nie może otworzyć skarbca,
• trzech członków KF może otworzyć skarbiec wtedy i tylko wtedy, gdy wśród nich jest przewodniczący.
Wyznacz liczbę zamków, które należy zamontować w skarbcu.

7. (Obóz) Rozstrzygnij, czy istnieje taka liczba pierwsza p oraz takie liczby całkowite a, b i c, że liczby a+b+c oraz a ^{4} +b ^{4} +c ^{4} są podzielne przez p, ale liczba a ^{16} +b ^{16} +c ^{16} nie jest podzielna przez p.

8. (Obóz) Na każdym polu prostokątnej szachownicy o wymiarach 9 x 11 (9 na 11) znajduje się żarówka. Na każdym polu nieleżącym na brzegu szachownicy znajduje się przełącznik, który zmienia stan zgaszona/zapalona) dziewięciu żarówek: żarówki na tym polu i na ośmiu polach sąsiadujących z nim bokiem lub narożem. Ponadto na każdym polu, które nie sąsiaduje z żadnym polem leżącym na brzegu szachownicy, znajduje się jeszcze jeden przełącznik, zmieniający stan 25 żarówek umieszczonych na 25 polach tworzących kwadrat 5×5, którego centralnym polem jest pole ze wspomnianym przełącznikiem. Rozstrzygnij, czy używając dostępnych przełączników można z dowolnego stanu początkowego dojść do stanu, w którym wszystkie żarówki są zgaszone.

9. (Obóz) Czy da się przeciąć dwunastościan foremny płaszczyzną tak, aby w przekroju otrzymać sześciokąt foremny? Odpowiedź uzasadnij.

10. (Obóz) Liczbę całkowitą nazwiemy fajną, jeżeli jest postacia ^{16} _{1} + a ^{16}  _{2}  + a ^{16}  _{3}  + ... + a ^{16}  _{61} , gdzie a _{1} , a _{2} , a _{3} , ..., a _{61} są liczbami całkowitymi większymi od 16 ^{61 ^{16} } . Rozstrzygnij, czy iloczyn dowolnych dwóch liczb fajnych jest fajny.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lut 2018, o 18:51 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Śląskie
1.
Ukryta treść:    


2. Hint
Ukryta treść:    

Rozwiązanie
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lut 2018, o 19:02 
Użytkownik

Posty: 548
Lokalizacja: Polska
"1 - wsk.":    


"1":    


"2 - wsk.":    


"2":    


"3":    


Na resztę tymczasowo czasu brak, ale fajnie sobie porobić. Chciałbym takie same zadania na OM :V
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lut 2018, o 20:05 
Użytkownik

Posty: 1052
Lokalizacja: Lublin/Warszawa
4:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lut 2018, o 20:18 
Użytkownik

Posty: 26
Lokalizacja: opolskie
5 hint:
Ukryta treść:    


-- 12 lut 2018, o 20:37 --

5 rozwiązanie
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lut 2018, o 22:06 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Śląskie
hint do 5 bez kosinusów:    

Symbol kąta:
Kod:
1
\angle

Stopnie można różnie, ja na ogól robię tak:
Kod:
1
120^\circ
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lut 2018, o 00:44 
Użytkownik

Posty: 11502
Lokalizacja: Wrocław/Boston Maseczjusets
7.:    


Ten obóz to chyba był w Buchenwaldzie.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 13 lut 2018, o 13:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3159
Lokalizacja: blisko
9.

Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lut 2018, o 18:52 
Użytkownik

Posty: 30
Lokalizacja: Grzebień
Dziękuję bardzo za wskazówki i pomoc, pozostały jeszcze zadania 6,8,10 (ewentualnie nieco mniej zaawansowane rozwiązanie do zadania 4, jeśli można prosić :P )
PS nie umiem zedytować pierwszego postu (nawet nie mam przycisku "edytuj" takiego zielonego, ktoś wie jak temu zaradzić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lut 2018, o 20:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1404
Lokalizacja: Katowice
dopowiem jeszcze, że w zadaniu 9 istnieje inny przekrój niż ten wskazany przez arka1357 dający sześciokąt foremny
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lut 2018, o 22:19 
Użytkownik

Posty: 30
Lokalizacja: Grzebień
timon92, przedstawiłbyś go? Albo jakieś naprowadzenie jeśli można prosić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lut 2018, o 20:55 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Bochnia
6.:
Ukryta treść:    

8.:
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lut 2018, o 21:40 
Użytkownik

Posty: 30
Lokalizacja: Grzebień
Wciąż nierozwiązane zadanie, też mi się wydawało najtrudniejsze :P:


{\green 10. (Obóz) } {\yellow xpg} Liczbę całkowitą nazwiemy fajną, jeżeli jest postaci a^{16} _{1} + a ^{16} _{2} + a ^{16} _{3} + ... + a ^{16} _{61} , gdzie a _{1} , a _{2} , a _{3} , ..., a _{61} są liczbami całkowitymi większymi od 16 ^{61 ^{16} } . Rozstrzygnij, czy iloczyn dowolnych dwóch liczb fajnych jest fajny.

Raz jeszcze dziękuję za pomoc, ale żeby się nie nudziło:

dorzucam tu kilka ze stereometrii (w ukrytych tekstach są wskazówki - od razu mówię, że za nic mi te wskazówki nie pomogły i mimo usilnych (bardzo usilnych) prób nie jestem w stanie ich rozwiązać :(... nawet nie umiem wykazać tego, o co proszą w tych wskazówkach, więc jest źle i dlatego proszę o pomoc):

11. Punkt P leży wewnątrz czworościanu ABCD. Dowieść, że \angle APB+\angle BPC+\angle CPD+\angle DPA>360^\circ.
Ukryta treść:    

12. Okręgi wpisane w ściany ABC i ABD czworościanu ABCD są styczne do krawędzi AB w tym samym punkcie. Wykazać, że punkty styczności tych okręgów z krawędziami AC, BC oraz AD, BD leżą na jednym okręgu.
Ukryta treść:    

13. W czworościanie ABCD krawędź AB jest prostopadła do krawędzi CD i \angle ACB=\angle ADB. Udowodnić, że płaszczyzna wyznaczona przez krawędź AB i środek krawędzi CD jest prostopadła do krawędzi CD.
Ukryta treść:    

14. Dany jest czworościan ABCD, o którego kątach płaskich wiadomo, że \angle BAD= 60^\circ, \angle BAC= 40^\circ, \angle ABD= 80^\circ, \angle ABC= 70^\circ. Dowieść, że krawędzie AB i CD są prostopadłe.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lut 2018, o 17:29 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Bielsko-Biała
10.
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 lut 2018, o 08:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5962
9:    

13:    

14:    
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 15 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 [Teoria liczb] Zadania z potęgami liczby 11 - zadanie 2  zbystura  5
 [MIX] Zadania przygotowawcze do Konkursu Podkarpackiego  Nycze  31
 [Kombinatoryka] Zadania z Dirichleta  szablewskil  3
 [Wielomiany] Zadania z tw. Bezouta  szablewskil  2
 [Planimetria] 2 zadania z geometrii - zadanie 2  taka_jedna  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl