szukanie zaawansowane
 [ Posty: 24 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lut 2018, o 22:31 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Rzeszów
Witam. Mam problem z udowodnieniem przechodniości pewnej relacji - prosiłbym o jakieś wskazówki co można wykorzystać żeby to udowodnić.

xRy  \Leftrightarrow   \left(  \bigvee\limits_{n\in \NN} x \cdot y=n^2  \right)

Relacja wydaje mi się być przechodnia, bo nie znalazłem żadnego kontraprzykładu, a przykładowo dla x=1, y=4, z=9 przechodniość jak najbardziej działa, jednak nie mam pomysłu jak to udowodnić.

Pozdrawiam
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lut 2018, o 22:40 
Administrator

Posty: 22534
Lokalizacja: Wrocław
Nie kontraprzykładu, tylko kontrprzykładu.

Po pierwsze, wypadałoby określić, na jaki zbiorze zadana jest ta relacja.

Po drugie, przechodniość tej relacji w prosty sposób wynika z definicji (zakładając, że jest to relacja na \NN). Zapisz zatem z definicji przechodniości, co zakładasz i co powinieneś udowodnić.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lut 2018, o 22:58 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Rzeszów
Przepraszam, zapomniałem dopisać, że relacja jest określona na zbiorze X= \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\right\}.
W takim razie to będzie:
\bigwedge\limits_{x,y,z\in X} \left( xRy \wedge yRz \right) \Rightarrow xRz
\bigwedge\limits_{x,y,z\in X} \left( \bigvee\limits_{n\in \NN} \left( x \cdot y=n^2 \right) \wedge \bigvee\limits_{n\in \NN} \left( y \cdot z=n^2 \right) \right) \Rightarrow \bigvee\limits_{n\in \NN} \left( x \cdot z=n^2 \right)
Jednak nie bardzo wiem co dalej.

Pozdrawiam
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lut 2018, o 23:08 
Administrator

Posty: 22534
Lokalizacja: Wrocław
Kluczownik napisał(a):
\bigwedge\limits_{x,y,z\in X} \left( xRy \wedge yRz \right) \Rightarrow xRz

Raczej

\bigwedge\limits_{x,y,z\in X} \left( xRy \wedge yRz  \Rightarrow xRz\right)

Kluczownik napisał(a):
\bigwedge\limits_{x,y,z\in X} \left( \bigvee\limits_{n\in \NN} \left( x \cdot y=n^2 \right) \wedge \bigvee\limits_{n\in \NN} \left( y \cdot z=n^2 \right) \right) \Rightarrow \bigvee\limits_{n\in \NN} \left( x \cdot z=n^2 \right)
Jednak nie bardzo wiem co dalej.

Może gdybyś nie pisał samych znaczków, tylko używał języka polskiego (bo tak powinno się zapisywać dowody), to byś wiedział?

Początek powinien wyglądać tak:

Ustalmy dowolne x,y,z\in X takie, że xRy i yRz. Oznacza to, że istnieją n,m\in\NN takie, że xy=n^2 i yz=m^2. Wtedy...

i tu powinieneś kontynuować dowód, którego celem jest uzasadnienie, że xz=k^2 dla pewnej liczby naturalnej k.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lut 2018, o 23:20 
Użytkownik

Posty: 375
Lokalizacja: Warszawa
Zauważ, że \NWD(x, y) \neq 1 i NWD(y, z) \neq 1, czyli, że nie są względnie pierwsze.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lut 2018, o 23:28 
Administrator

Posty: 22534
Lokalizacja: Wrocław
Rozbitek napisał(a):
Zauważ, że \NWD(x, y) \neq 1 i NWD(y, z) \neq 1, czyli, że nie są względnie pierwsze.

Po pierwsze, to nie zawsze prawda. Po drugie - co to ma do rzeczy?

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lut 2018, o 23:38 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Rzeszów
W takim razie:
Ustalmy dowolne x,y,z\in X takie, że xRy i yRz. Oznacza to, że istnieją n,m\in\NN takie, że xy=n^2 i yz=m^2. Wtedy:
y= \frac{n^2}{x} \\
 y= \frac{m^2}{z} \\
 \frac{n^2}{x} = \frac{m^2}{z} \\
 z \cdot n^2 = x  \cdot m^2

Tutaj nie mam pomysłu co dalej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lut 2018, o 23:54 
Administrator

Posty: 22534
Lokalizacja: Wrocław
Kluczownik napisał(a):
y= \frac{n^2}{x} \\
 y= \frac{m^2}{z} \\
 \frac{n^2}{x} = \frac{m^2}{z} \\
 z \cdot n^2 = x  \cdot m^2

A możesz mi wyjaśnić sens tej żonglerki znaczkami? Bo wygląda to tak, jakbyś uznał: "poprzekształcam, poprzekształcam, a nuż coś wyjdzie...". W ten sposób do niczego nie dojdziesz. Matematyka to NIE JEST sztuka manipulowania znaczkami.

Powtórzę jeszcze raz: celem jest uzasadnienie, że xz=k^2 dla pewnej liczby naturalnej k. Powinieneś się zatem zastanowić, jak przy podanych założeniach wygląda iloczyn xz.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lut 2018, o 00:17 
Użytkownik

Posty: 375
Lokalizacja: Warszawa
Jan Kraszewski napisał(a):
Rozbitek napisał(a):
Zauważ, że \NWD(x, y) \neq 1 i NWD(y, z) \neq 1, czyli, że nie są względnie pierwsze.

Po pierwsze, to nie zawsze prawda. Po drugie - co to ma do rzeczy?

JK


:oops:
Faktycznie nie zawsze prawda. Czemu mi się to wydawało oczywiste? :/ Nwm.


W takim razie wskazówka (tym razem dobra):

Wyznacz x i z i przemnóż przez siebie, a następnie zauważ, że y dzieli n i m.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lut 2018, o 00:24 
Administrator

Posty: 22534
Lokalizacja: Wrocław
Rozbitek napisał(a):
W takim razie wskazówka (tym razem dobra):

Dałbyś chłopakowi pomyśleć samodzielnie.

Rozbitek napisał(a):
a następnie zauważ, że y dzieli n i m.

To nie jest prawda. Dawanie wskazówek wprowadzających w błąd to nie jest dobry pomysł.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lut 2018, o 00:30 
Użytkownik

Posty: 375
Lokalizacja: Warszawa
Rozbitek napisał(a):
Wyznacz x i z i przemnóż przez siebie, a następnie zauważ, że y dzieli n i m.

Przepraszam.

*Wyznacz x i z i przemnóż przez siebie, a następnie zauważ, że y dzieli n^2 i m^2.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lut 2018, o 00:57 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Rzeszów
A nie przypadkiem y^2?
Bo tak, wyznaczam x i z:
x = \frac{n^2}{y}
z = \frac{m^2}{y}

x \cdot z =  \frac{n^2 \cdot m^2}{y^2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lut 2018, o 01:10 
Administrator

Posty: 22534
Lokalizacja: Wrocław
Kluczownik napisał(a):
A nie przypadkiem y^2?

A skąd wiesz, że y^2 dzieli?

Dobra, wiesz już, że x \cdot z = \frac{n^2 \cdot m^2}{y^2} i co dalej? Trzeba sformułować wniosek.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lut 2018, o 01:27 
Użytkownik

Posty: 375
Lokalizacja: Warszawa
Kluczownik napisał(a):
A nie przypadkiem y^2?


Nie wiem, ale wiem za to z założenia, że x  = \frac{n^2}{y}, więc skoro x \in X siłą rzeczy y dzieli n^2 i z założenia wiem również, że z \in X i z = \frac{m^2}{y}, więc y dzieli również m^2.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lut 2018, o 01:33 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Rzeszów
Wiem, że muszę dojść do postaci x \cdot z = k^2, czyli wychodzi na to, że \frac{(n \cdot m)^2}{y^2} = k^2, czyli \frac{n \cdot m}{y} = k, z tego wnika, że skoro y dzieli n i m, to \frac{n}{y} i \frac{m}{y} dadzą w wyniku liczbę naturalną, zatem po pomnożeniu przez siebie nadal otrzymamy liczbę naturalną, czyli z tego wynika, że k jest liczbą naturalną, co za tym idzie k^2 również jest, co kończy dowód. Czy mam rację?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 24 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Problem laika ze zbiorami nieskończonymi  barko  11
 Problem ze zrozumieniem przykładu z częściowych porządków - zadanie 9  Przemko320  0
 Problem z sumą zbiorów  waga  2
 Problem ze zbiorami - zadanie 2  MgielkaCuba  15
 Mały problem z przedziałami  karpiuch  20
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl