szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lut 2018, o 11:23 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: Polska
Witajcie,
mam 2 pytania:
1. Czy istnieje epimorfizm pierścienia liczb całkowitych na ciało czteroelementowe?
2. Czy istnieje epimorfizm \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} na ciało czteroelementowe?

Proszę o pomoc ;)
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 16 lut 2018, o 14:16 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7905
Lokalizacja: Wrocław
1. Załóżmy nie wprost, że istnieje taki epimorfizm \varphi : \ZZ \to \mathbb{F}_4. Jaki jest wtedy rząd elementu \varphi(1) w grupie addytywnej \mathbb{F}_4 ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lut 2018, o 15:22 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: Polska
Rząd jest równy 4. A w Z element 1 jest rzędu nieskończoność. Ale czy to daje sprzeczność?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 16 lut 2018, o 15:55 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7905
Lokalizacja: Wrocław
Humanista123 napisał(a):
Rząd jest równy 4.
Dlaczego?

Następnie zastanów się, ile wynosi \varphi(4) i zauważ, że \varphi(4) = \varphi(2) \cdot \varphi(2).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lut 2018, o 10:56 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: Polska
Przepraszam, rząd \varphi(1) jest równy 1. \varphi(4)=4 \cdot \varphi(1), więc rząd \varphi(4) jest większy niż 1 (powiedzmy, że jest rzędu k. Wtedy \varphi(2) jest rzędu 2k. Z równości \varphi(4) = \varphi(2) \cdot \varphi(2) mamy po lewej stronie element rzędu k a po prawej 2k. więc sprzeczność. Jest oki? Czy można jednoznacznie stwierdzić wartość k ?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 18 lut 2018, o 14:38 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7905
Lokalizacja: Wrocław
Humanista123 napisał(a):
Przepraszam, rząd \varphi(1) jest równy 1. \varphi(4)=4 \cdot \varphi(1), więc rząd \varphi(4) jest większy niż 1
Równy 1 czy większy od 1? I przede wszystkim - dlaczego?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lut 2018, o 23:41 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: Polska
Racja, równy 1.
W tym ciele czteroelementowym istnieją takie elementy:
\varphi(0)- neuralny ze względu na dodawanie,
\varphi(1)- neutralny ze względu na mnożenie,
\varphi(2)=2\varphi(1),
\varphi(3)=3\varphi(1). Tyle.
To jest ciało, więc 2\varphi(1) \cdot 3\varphi(1)=1. \varphi(4) może być równe tylko \varphi(0), \varphi(1), \varphi(2), \varphi(3). \varphi(0), \varphi(2) nie moze być, bo \varphi(4)=\varphi(2) \cdot \varphi(2). Załóżmy, że \varphi(4)=\varphi(3) wtedy \varphi(4) \cdot \varphi(2)=\varphi(1). Natomiast \varphi(4) \cdot \varphi(2)=\varphi(3) \cdot \varphi(2)+\varphi(2)=\varphi(3). Sprzeczność. Więc \varphi(4) jest rzędu 1. Teraz dobrze?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Istnienie el. odwr. w skończonym pierścieniu z jednością  yurai  2
 Wykazać istnienie podgrupy normalnej  Majeskas  4
 Istnienie działania tranzytywnego  pancernik993  0
 Istnienie homomorfizmu  lukashid  5
 istnienie homomorfizmów  adacho90  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl