szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lut 2018, o 16:04 
Użytkownik

Posty: 146
Lokalizacja: Poznań
Oszacuj dokładność wzoru przybliżonego \cos^2 x \approx 1-x^2 dla |x| \le \frac{1}{10}
Częsć mam ale nie wiem czy dobrze, mógłby ktoś rzucić okiem

Obliczyłem pochodne
f'( x )=-2 \cdot \cos x \sin x \\
f'( 0 )=0 \\
f''( x )= 2\sin ^{2}x -\cos^2 x \\
f''( 0 )= -1 \\
f'''( x )= 4 \cdot \sin x \cos x+2\sin x \cdot \cos x

f(x)=1- \frac{1}{2!} x^2 + \frac{f(c)}{3!} x^3
I teraz mam obliczyć wartość tego dla \frac{1}{10} czy jak???
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lut 2018, o 16:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1216
Lokalizacja: hrubielowo
Trochę namieszałeś z tymi pochodnymi które powinny być liczone w x=0 z wyjątkiem ostatniej trzeciej liczonej w punkcie pośrednim c który jest z przedziału \left[ - \frac{1}{10} , \frac{1}{10} \right]. Można wtedy zapisać wzór Taylora z resztą

\cos^2x=1-x^2+ \frac{x^3}{6}\left( \cos^2x\right)'''\Big|_{x=c}

Zapiszmy resztę i szacujmy ją:

R(x,c)=\frac{x^3}{6}\left( \cos^2x\right)'''\Big|_{x=c}= \frac{2}{3}x^3\sin\left( 2c\right)

Teraz można oszacować to grubo szacując moduł reszty i zapominając o sin (jako że sin t \le 1)

\left| R(x,c)\right| \le \frac{2}{3}|x|^3 \le \frac{2}{3}\left(  \frac{1}{10} \right) ^3

Co automatycznie daje że dla x\in\left[ - \frac{1}{10} , \frac{1}{10} \right]

\left| \cos^2x-(1-x^2)\right| \le \frac{2}{3}\left(  \frac{1}{10} \right) ^3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lut 2018, o 15:26 
Użytkownik

Posty: 146
Lokalizacja: Poznań
Ale przecież policzyłem ile wynoszą pochodne w x=0. Ale właściwie to tylko trzecia pochodna jest potrzebna???
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lut 2018, o 16:05 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1216
Lokalizacja: hrubielowo
Cytuj:
Ale właściwie to tylko trzecia pochodna jest potrzebna???

Tak na trzeciej pochodnej można poprzestać i wyrazić resztę R(x,c). Potem zostaje szacowanie reszty.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Szacowanie dokładności  Barcelonczyk  1
 Oszacowanie przybliżenia wartości funkcji sinus  Asia34  2
 Oszacowanie błędu przybliżenia wielomianu MacLaurina  tomboo  6
 Oszacowanie dokładności przybliżenia-spr. mojego rozwiązania  donmaciej  1
 oszacowanie liczby Eulera, indukcja  Jacek_fizyk  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl