szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lut 2018, o 19:42 
Użytkownik

Posty: 5666
Lokalizacja: Kraków
Rozwiązywanie równań funkcyjnych - przykłady (x 7)



Zadanie
Rozwiązać równanie funkcyjne f \left( xf \left( y \right) +x \right) = xy + f \left( x \right) .

Rozwiązanie
Jeśli x=1, to f \left( f \left( y \right) + 1 \right) = y+ f \left( 1 \right) dla y \in \RR, tj. f jest odwzorowaniem „na”, czyli istnieje x_0 takie, że f \left( x_0 \right) = -1.

Jeśli więc y=x_0, to f \left( 0 \right) = xx_0 + f \left( x \right) tj. f jest funkcją liniową. Podstawiając f \left( x \right) = ax+b do wyjściowego równania mamy rozwiązania: f \left( x \right) = x lub f \left( x \right) = -x.


Zadanie
Wyznaczyć wszystkie funkcje f: \ZZ \to \ZZ takie, że 19f \left( x \right) - 17f \left( f \left( x \right) \right) = 2x, gdy x \in \ZZ.

Rozwiązanie
Jeśli g \left( x \right) = x - f \left( x \right), to g \left( f \left( x \right) \right) = \frac{2}{17}g \left( x \right). tj.

17^n g \left( f^{ \left( n \right) } \left( x \right) \right) =2^n g \left( x \right) dla n=1,2,3,…; (indukcyjnie) przy czym f^{ \left( n \right) } = \underbrace{f \circ \ldots \circ f}_{n}.

Stąd g \left( x \right) =0 (jeśli g \left( f^{ \left( n \right) } \left( x \right) \right) =0, to g \left( x \right) =0 ). Zatem f \left( x \right) =x jest jedynym rozwiązaniem.

Uwagi: Jeśli to samo równanie rozważyć dla funkcji rzeczywistej (tj. o dziedzinie \RR) to istnieje też inne rozwiązanie: f \left( x \right) = - \frac{2}{17}x


Zadanie
Udowodnić, że jeśli f: \RR \to \RR spełnia równanie f \left( x-1 \right) + f \left( x+1 \right) = \sqrt{2}f \left( x \right) dla x \in \RR, to jest okresowa.

Rozwiązanie
Mnożąc równanie przez \sqrt{2} mamy \sqrt{2}f \left( x-1 \right) + \sqrt{2}f \left( x+1 \right) = 2f \left( x \right), czyli
f \left( x-2 \right) + f \left( x \right) + f \left( x \right) + f \left( x+2 \right) = 2f \left( x \right)
tj.
(*) f \left( x-2 \right) =- f \left( x+2 \right) .

Z tego zaś wynika, że f jest okresowa i ma okres s= 8, gdyż f \left( x+2 \right) =-f \left( x+6 \right) .


Zadanie
Wyznaczyć funkcję f: \left \left( -1, +\infty \right \right) \to \RR taką, że 1+f \left( x \right) = f \left( \frac{-x}{x+1} \right) dla x \neq 0.

Rozwiązanie
Taka funkcja f nie istnieje. Jeśli bowiem x>-1 to \frac{-x}{x+1} = -1+ \frac{1}{x+1} >-1 oraz \frac{ - \frac{-x}{x+1}}{\frac{-x}{x+1} +1} =x,to 1+ f \left( \frac{-x}{x+1} \right) = f \left( x \right) tj. sprzeczność.


Do rozwiązywania samemu

Zadanie
Wyznaczyć funkcje różnowartościowe, dla których f \left( f \left( x \right) + y \right) = f \left( x+y \right) +1 jeśli x, y \in \RR.

Zadanie
Dla jakich wielomianów P i Q zachodzi równość P \left( Q \left( x \right) \right) = Q \left( P \left( x \right) \right) dla x \in \RR ?

Zadanie
Czy istnieje funkcja f : \NN \to \NN taka, że f \left( f \left( n \right) \right) = n+1 dla n \in \NN ?


Źródło podstawowe: Titu Andreescu - Functional equations

Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lut 2018, o 19:59 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18499
Lokalizacja: Cieszyn
Jest jeszcze ta książka - coś w rodzaju klasyka.

http://www.springer.com/gp/book/9780387345345
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Liczby zespolone- rozwiązywanie nierówności i równości  Anonymous  0
 Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną - zadanie 2  loitzl9006  0
 Dla jakich k układ równań jest niesprzeczy?  nikewoman25  1
 Rozwiąż układ równań metodą wyznaczników - zadanie 2  jackbriggs  4
 Układ równań - zadanie 342  klaudia048  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl