szukanie zaawansowane
 [ Posty: 14 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lut 2018, o 22:54 
Użytkownik

Posty: 61
Lokalizacja: Polska
Dobry wieczór,

ostatnio studiuję sobie struktury algebraiczne, a konkretnie grupy. Mam pytanie dotyczące tego czy grupa z działaniem dwuargumentowym określonym na liczbach rzeczywistych (lub bardziej ogólnie może być też na zespolonych) może nie być abelowa?

Wiem, że istnieją grupy nieabelowe, ale przykłady takich grup jakie widziałem w podręcznikach dotyczą tylko złożeń przekształceń geometrycznych. Np. zbiór A to zbiór symetrii osiowych kwadratu ABCD względem jego osi symetrii oraz obrotów tegoż kwadratu o 0, 90, 180 i 270 stopni względem jego środka ciężkości. Działanie dajmy na to * to złożenie dwóch spośród tych przekształceń. No i faktycznie, element neutralny istnieje, każdy element ma swój inwers, ale tablica Cayleya pokazuje, że działanie nie jest przemienne. Więc grupa (A,*) nie jest abelowa.

Interesuje mnie, czy przykład grupy nieabelowej można podać dla działa na liczbach. Innymi słowy, czy istnieje działanie dwuargumentowe na liczbach, które ma element neutralny, każdy element zbioru ma inwers, ale działanie nie jest przemienne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lut 2018, o 22:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2864
Lokalizacja: Radom
Wybierz bijekcję\phi: \RR  \rightarrow Gl_n(\RR)
i daj działanie r_1 + r_2 =\phi^{-1}\left(  \phi(r_1)\cdot \phi(r_2) \right) (mnożenie macierzy)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lut 2018, o 23:00 
Użytkownik

Posty: 61
Lokalizacja: Polska
leg14 napisał(a):
Wybierz bijekcję\phi: \RR  \rightarrow Gl_n(\RR)
i daj działanie r_1 + r_2 =\phi^{-1}\left(  \phi(r_1)\cdot \phi(r_2) \right) (mnożenie macierzy)


Ciekawy przykład, dziękuję. Jednak czy nie ma jakiegoś ,,lżejszego" przykładu? Będę to musiał wytłumaczyć ludziom, którzy nie mają pojęcia o macierzach (3. klasa liceum). ,,Lżejszego" to znaczy na liczbach, nie na macierzach, permutacjach itp.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lut 2018, o 23:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2864
Lokalizacja: Radom
To wytłumacz na przykładzie grupy wolnej o dwóch generatorach - jest przeliczalna więc możesz znaleźć bijekcję z \ZZ i określić nieabelowe działanie na całkowitych analogicznie jak wyżej na rzeczywistych
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lut 2018, o 03:54 
Użytkownik

Posty: 15651
Lokalizacja: Bydgoszcz
Innymi słowy możesz zrobić tak: wziąć dowolną grupę nieabelową (G,\cdot) o mocy \mathfrak{c}, ustalić bijekcję h:G\to\RR i określić działanie na \RR wzorem x*y=h(h^{-1}(x)\cdot h^{-1}). w ten sposób niejako "przepisujesz" strukturę grupy G na zbiór liczb rzeczywistych. I nie ma tu żadnego znaczenia, że ten zbiór jest zbiorem liczb rzeczywistych. Istotna jest tylko jego moc, więc ta sama metoda ba Ci strukturę grupy na \CC lub na dowolnym zbiorze mocy kontinuum.

Myślę jednak, że bardziej interesujący będzie przykład kwaternionów. Otóż, podobnie jak liczby zespolone rozszerzają liczby rzeczywiste, zachowując ich strukturę algebraiczną (w takim sensie, że działania na liczbach zespolonych obcięte do liczb rzeczywistych są zwykłym dodawaniem i mnożeniem) , można zbudować rozszerzenie liczb zespolonych zwane kwaternionami (w takim samym sensie). Zbiór niezerowych kwaternionów z mnożeniem jest grupą nieprzemienną.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lut 2018, o 07:13 
Użytkownik

Posty: 61
Lokalizacja: Polska
Dziękuję za te przykłady. Dla mnie są zrozumiałe, jednak uczniom będę to musiał wyjaśnić na jakimś ,,łopatologicznym" przykładzie.

Dlatego wpadłem na pomysł, by to działanie (którego tak się domagam) zdefiniować za pomocą tabeli Cayley'a. Niech zatem działanie a*b zdefiniowane będzie na zbiorze A=\{1, 2, 3\} i będzie dawało wyniki jak w tabelce - link poniżej:

[ciach]

No i jak widać - jest element neutralny, każdy element ma swój inwers, a przemienność nie zachodzi. Grupa (A,*) nie jest abelowa.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lut 2018, o 08:14 
Użytkownik

Posty: 378
Lokalizacja: Warszawa
mol_ksiazkowy napisał(a):
Inny przykład grupy nieabelowej G: zbiór par (a, b) \ a, b \in R takich że a \neq 0 z działaniem
(a, b)*(c,d)= (ac, ad+b)

Te i inne przyklady pozwola oswoic sie z grupami nieabelowymi...


https://www.matematyka.pl/posting.php?mode=quote&f=142&p=4977701
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lut 2018, o 08:31 
Użytkownik

Posty: 15651
Lokalizacja: Bydgoszcz
calculus napisał(a):
Dziękuję za te przykłady. Dla mnie są zrozumiałe, jednak uczniom będę to musiał wyjaśnić na jakimś ,,łopatologicznym" przykładzie.

Dlatego wpadłem na pomysł, by to działanie (którego tak się domagam) zdefiniować za pomocą tabeli Cayley'a. Niech zatem działanie a*b zdefiniowane będzie na zbiorze A={1, 2, 3} i będzie dawało wyniki jak w tabelce - link poniżej:

http://wstaw.org/w/4Nac/

No i jak widać - jest element neutralny, każdy element ma swój inwers, a przemienność nie zachodzi. Grupa (A,*) nie jest abelowa.


Każda grupa rzedu trzy jest abelowa. To jest wiedza, którą otrzymuje się na pierwszym wykładzie z algebry. Sprawdź którego aksjomatu nie spełnia.

Można wiedzieć jakie dzieci uczysz?

-- 19 lut 2018, o 08:33 --

Rozbitek napisał(a):
mol_ksiazkowy napisał(a):
Inny przykład grupy nieabelowej G: zbiór par (a, b) \ a, b \in R takich że a \neq 0 z działaniem
(a, b)*(c,d)= (ac, ad+b)

Te i inne przyklady pozwola oswoic sie z grupami nieabelowymi...


https://www.matematyka.pl/posting.php?mode=quote&f=142&p=4977701


Nie chodziło o przykład grupy nieabelowej, lecz o nieabelowe działanie na zbiorze liczb
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lut 2018, o 09:44 
Użytkownik

Posty: 61
Lokalizacja: Polska
Oj, nie zauważyłem, że mój przykład nie spełnia aksjomatu łączności działania. Trochę się pospieszyłem z tym działaniem w tabeli Cayley'a. Ale nie szkodzi, mam przykłady jak powyżej, to mi wystarczy.

Jakie dzieci uczę? Duże, 18, 19-letnie. Ktoś zapyta - gdzie w szkołach uczy się teraz maturzystów podstaw struktur algebraicznych? No to taka zagadka dla miłych Państwa - co to może być za klasa, jaki program matury, gdzie uczy się takich rzeczy: zbiory, relacje, grupy? Do matury, nie olimpijczyków czy na kółku zainteresowań. Oczywiście uczą się zupełnych podstaw tego działu matematyki i większość z nich patrzy na to jak na science fiction.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lut 2018, o 10:02 
Administrator

Posty: 23332
Lokalizacja: Wrocław
Może matura międzynarodowa.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lut 2018, o 10:05 
Użytkownik

Posty: 15651
Lokalizacja: Bydgoszcz
Pytanie o sens tworzenia działań nieprzemiennych, na strukturze, która w naturalny sposób kojarzy się z przemiennością. Czy nie lepiej mówić o grupach nieprzemiennych tam, gdzie one pojawiają się w sposób naturalny: symetrie i obroty wielokątów foremnych, graniastosłupów, permutacje

Ja bardzo chcesz, to możesz wziąć np. grupę permutacji trzech elementów (najmniejsza grupa nieprzemienna), oznaczyć jej elementy przez 1,2,3,4,5,6 i określić działania na tym zbiorze zgodnie z tabelką. ale nie ma to żadnego sensu oprócz mieszania uczniom w głowach, bo te "liczby" to tak naprawdę dalej izometrie trójkąta równobocznego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lut 2018, o 10:08 
Użytkownik

Posty: 61
Lokalizacja: Polska
Jan Kraszewski napisał(a):
Może matura międzynarodowa.

JK


Brawo! Matura IB, poziom rozszerzony(HL), dział ze zbiorami, grupami i relacjami jest opcją dodatkową.

-- 19 lut 2018, o 11:15 --

a4karo napisał(a):
Pytanie o sens tworzenia działań nieprzemiennych, na strukturze, która w naturalny sposób kojarzy się z przemiennością. Czy nie lepiej mówić o grupach nieprzemiennych tam, gdzie one pojawiają się w sposób naturalny: symetrie i obroty wielokątów foremnych, graniastosłupów, permutacje

Ja bardzo chcesz, to możesz wziąć np. grupę permutacji trzech elementów (najmniejsza grupa nieprzemienna), oznaczyć jej elementy przez 1,2,3,4,5,6 i określić działania na tym zbiorze zgodnie z tabelką. ale nie ma to żadnego sensu oprócz mieszania uczniom w głowach, bo te "liczby" to tak naprawdę dalej izometrie trójkąta równobocznego.


No i właśnie jak najbardziej zacznę lekcję od przykładu z symetriami i obrotami - patrz mój pierwszy post w tym temacie. Rzecz w tym, że potem jakiś ciekawski uczeń zapyta czy mogę podać przykład grupy nieabelowej z działaniem na liczbach, a nie z geometrii. Jak im wyjadę z macierzami lub kwaternionami to chyba mnie nie zrozumieją, im potrzeba czegoś prostego jako przykładu.

Tak, permutacje to żadna różnica w porównaniu z symetriami i obrotami - jak mam wyróżnione wierzchołki np. kwadratu to mogę równie dobrze mówić o permutacjach tych wierzchołków. Ale zawsze mogę powiedzieć, że te permutacje są na liczbach - oznaczcie sobie wierzchołki kwadratu 1, 2, 3 i 4. Może wtedy uczniowie dadzą mi spokój.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lut 2018, o 10:54 
Użytkownik

Posty: 5654
Lokalizacja: Kraków
Cytuj:
, lecz o nieabelowe działanie na zbiorze liczb


a*b = \begin{cases} a+b \ ; a \ jest \ parzyste \\ a-b \ ; a \ jest \ nieparzyste \end{cases}
:arrow: :idea:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 lut 2018, o 09:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3391
Lokalizacja: blisko
Cytuj:
Tak, permutacje to żadna różnica w porównaniu z symetriami i obrotami - jak mam wyróżnione wierzchołki np. kwadratu to mogę równie dobrze mówić o permutacjach tych wierzchołków. Ale zawsze mogę powiedzieć, że te permutacje są na liczbach - oznaczcie sobie wierzchołki kwadratu 1, 2, 3 i 4. Może wtedy uczniowie dadzą mi spokój.


Ale dociekliwy uczeń zauważy,że nie każda permutacja to izometria...

No chyba, że może czasem w przestrzeniach wyżej wymiarowych co raz poruszałem ten ciekawy wątek...

https://www.matematyka.pl/399443.htm

Co też można ująć na lekcji...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 14 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 przeciwobraz grupy cyklicznej  azedor  1
 Funkcja Eulera wyraża liczbę generatorów grupy cyklicznej  Poszukujaca  1
 Grupy rozwiązalne  Zordon  8
 Rząd grupy i jego podgrup.  matter  7
 Rząd grupy - zadanie 6  Madlen89  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl