szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lut 2018, o 20:33 
Użytkownik

Posty: 207
Lokalizacja: Polska
Witajcie :) Mam takie zadanie:
Czy istnieje niezerowy element nilpotentny w pierścieniu \mathbb{Z}_{45}[X]/(X,5)?
Moim zdaniem nie, bo w tym pierścieniu istnieją tylko wyrazy wolne, które nie są podzielne przez 5, czyli nie istnieje taka liczba x, która podniesiona do potęgi n dawałaby 0, gdyż x musiałoby być podzielne przez 5. Dobrze myślę?

-- 22 lut 2018, o 22:01 --

P.S. Ile ten pierścień ma elementów? 36 czy 5?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lut 2018, o 17:07 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7905
Lokalizacja: Wrocław
Wiesiek7 napisał(a):
Czy istnieje niezerowy element nilpotentny w pierścieniu \mathbb{Z}_{45}[X]/(X,5)?
Moim zdaniem nie, bo w tym pierścieniu istnieją tylko wyrazy wolne, które nie są podzielne przez 5
Nieściśle. Elementami tego pierścienia są warstwy (addytywne) ideału (X, 5), więc nie może on składać się tylko z wyrazów wolnych (czyli liczb). Można jednak zauważyć, że w zbiorze \{ 0, 1, 2, 3, 4 \} jest dokładnie po jednym reprezentancie z każdej warstwy (co należałoby uzasadnić), zatem gdy ustalimy dowolny element \mathbb{Z}_{45}[X]/(X,5) (w celu wykazania, że nie jest on nilpotentem), to wiemy, że jest on postaci a + (X, 5) dla pewnego a \in \{ 0, 1, 2, 3, 4 \}.

Wiesiek7 napisał(a):
czyli nie istnieje taka liczba x, która podniesiona do potęgi n dawałaby 0, gdyż x musiałoby być podzielne przez 5. Dobrze myślę?
Dobrze myślisz, ale na razie to tylko szkic.

Wiesiek7 napisał(a):
P.S. Ile ten pierścień ma elementów? 36 czy 5?
A jak sądzisz?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lut 2018, o 02:21 
Użytkownik

Posty: 207
Lokalizacja: Polska
Wielkie dzięki ;) Ma 5 elementów i nie ma tam elementu nilpotentnego. Nie pisałem ściśle, to prawda, ale bardziej mi chodziło po prostu o odpowiedź a nie o ścisłe rozwiązanie. Pan profesor napisał na zajęciach, że ten pierścień jest izomorficzny z \mathbb{Z}_{9}. Dzień przed egzaminem zacząłem czytać to i wydawało mi się, że to jest źle i miałem rację. Chyba z nerwów ten chaos wypowiedzi :) Dziękuję za pomoc :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 element nilpotentny  gdorota1  3
 grupa i element neutralny  anetaaneta1  1
 Sprawdź czy działanie posiada element neutralny  mCichy13  1
 Element rozkładalny  marcobz  5
 Element odwracalny - zadanie 4  namehta  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl