szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lut 2018, o 00:45 
Użytkownik

Posty: 49
Lokalizacja: Polska
Niech n \ge 1 i u_1,u_2,...,u_n oznaczają wszystkie zespolone pierwiastki z jedności stopnia n+1 różne od 1.
a) Znajdź wielomian f \in \mathbb{R}[x] stopnia n taki, że f(u_k)=0 dla k=1,2,...,n .
b) Oblicz część rzeczywistą i urojoną iloczynu (2-u_1) \cdot (2-u_2) \cdot ... \cdot (2 - u_n) .

Nie mam pojęcia jak to zrobić. :|
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lut 2018, o 04:29 
Użytkownik

Posty: 12615
Elo elo 320

a)
Te pierwiastki są postaci \cos\left( \frac{2k\pi}{n+1}\right) +i\sin\left( \frac{2k\pi}{n+1}\right) dla k=1,2\ldots n, tj. wszystkie pierwiastki n+1. stopnia z 1 różne od 1, a wszakże z Bezouta (wielokrotnie) mamy
z^{n+1}-1= \prod_{k=0}^{n} \left( z-\left( \cos\left( \frac{2k\pi}{n+1}\right) +i\sin\left( \frac{2k\pi}{n+1}\right)\right) \right),
jak to wydzielimy przez z-1=z-\left( \cos \left( \frac{2\cdot 0}{n+1}\right)+i\sin \left( \frac{2\cdot 0}{n+1}\right) \right) (wzór na różnicę n-tych potęg ze szkoły średniej), to
otrzymamy z^{n}+z^{n-1}+\ldots+z+1 i to jest nasz szukany wielomian stopnia n.

b)
Niech
f(z)=(z-u_1) \cdot (z-u_2) \cdot ... \cdot (z - u_n)=z^n+z^{n-1}+\ldots +z+1
Wówczas mamy
f(2)=2^n+2^{n-1}+\ldots+2+1=2^{n+1}-1. Wnioski?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lut 2018, o 11:37 
Użytkownik

Posty: 49
Lokalizacja: Polska
Dzięki. Wielomian miał być f(u_k), a jest f(z). Nie do końca rozumiem czym jest to z.

W b) Re = 2^{n+1}-1 i Im = 0?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lut 2018, o 11:48 
Użytkownik

Posty: 12615
f(z) to właśnie taki wielomian zmiennej zespolonej stopnia n, że jak podstawimy z=u_k dla k=1,2\ldots n, to otrzymamy zero, czyli w myśl wywodu z a) jest
f(z)=(z-u_1)(z-u_2)\ldots(z-u_k).
Co do b), jasne, zgadza się. Tylko taka kosmetyczna uwaga, że \Re i \mathrm{Im} są funkcjami, więc pisanie np. \Re bez niczego średnio ma sens.
\Re\left( (2-u_1)(2-u_2)\ldots(2-u_n)\right) =2^{n+1}-1 itd.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równania zespolone - zadanie 3  Zedd  1
 Równanie liczby zespolone - zadanie 6  pawel1514  6
 Liczby zespolone - ułamki proste.  nalesniki66  1
 Liczby zespolone a podzielność  6234945  6
 liczby zespolone - zadanie 10  początkujący  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl