szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lut 2018, o 11:59 
Użytkownik

Posty: 43
Lokalizacja: Katowice
Wyznaczyć, jeśli istnieją, granice (właściwe albo niewłaściwe):

\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{ \frac{1}{n^2} \cdot 4^n+n \cdot 3^n+5n^3}

po 1 jak sprawdzic czy istnieje granica? tzn mam sprawdzać zbieżność czy jak?
po 2 jak obliczyc ta granice? normalnie wyciągnąłbym przed nawias 4^n lub n^3 ale w tym wypadku nic to nie da chyba

Dzieki za kazda odp
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lut 2018, o 12:03 
Użytkownik

Posty: 7361
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Wstaw bardzo duże n i dowiesz się jakie powinny być granice
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lut 2018, o 12:18 
Użytkownik

Posty: 43
Lokalizacja: Katowice
Kartezjusz napisał(a):
Wstaw bardzo duże n i dowiesz się jakie powinny być granice


Tzn? zakładam ze do 1 ale jak to zrobic?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lut 2018, o 12:31 
Gość Specjalny

Posty: 5021
Lokalizacja: Warszawa
spejson_ napisał(a):
Tzn? zakładam ze do 1 ale jak to zrobic?
Zastanów się jeszcze raz.

Takie granice najczęściej potrzebują twierdzenia o trzech ciągach.

Polecam przyszłościowo z całym wątkiem się zapoznać :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lut 2018, o 12:31 
Użytkownik

Posty: 12648
4\cdot \left( \sqrt[n]{n}\right)^{-2} =  \sqrt[n]{\frac{1}{n^2}\cdot 4^n} \le \sqrt[n]{ \frac{1}{n^2} \cdot 4^n+n\cdot 3^n+5n^3} \le \\\le  \sqrt[n]{n^3 \cdot 4^n+n^3\cdot 4^n+n^3\cdot 4^n}=4\cdot \left(\sqrt[n]{n}\right)^3 \cdot  \sqrt[n]{3}
dla odpowiednio dużych n. Szacowanie z dołu działa zawsze, co do szacowania z góry, to
dla n\ge 2 mamy 4^n>5, a więc i n^3\cdot 4^n>5n^3.
Szacowanie z dołu uzyskałem tak, że wywaliłem wszystko oprócz najbardziej znaczącego wyrazu, a szacowanie z góry zgadłem.
No i można zastosować twierdzenie o trzech ciągach.

-- 24 lut 2018, o 11:34 --

No i należy tu jeszcze znać takie granice:
\lim_{ n\to  \infty } \sqrt[n]{n}=1\\ \lim_{n \to  \infty } \sqrt[n]{a}=1, \text{ gdzie } a
to dowolna stała dodatnia.

A skąd wiedziałem, który wyraz dla dużych n jest najbardziej znaczący?
Policzyłem w pamięci granice
\lim_{n \to  \infty }  \frac{n\cdot 3^n}{\frac{1}{n^2}\cdot 4^n}
oraz
\lim_{n \to  \infty }  \frac{5n^3}{\frac{1}{n^2}\cdot 4^n}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lut 2018, o 12:44 
Użytkownik

Posty: 43
Lokalizacja: Katowice
Dzieki za odp, nie rozumiem jeszcze jak obliczenie tych granic na dole pomogło w wyznaczaniu najbardziej znaczacego wyrazu?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lut 2018, o 13:21 
Użytkownik

Posty: 12648
Ponieważ
\lim_{n \to \infty } \frac{n\cdot 3^n}{\frac{1}{n^2}\cdot 4^n}=0, zatem dla dużych n mamy
\frac{1}{n^2}\cdot 4^n>>n\cdot 3^n
itd.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Czy istnieją ciagi liczb o własnościach ... ?  Anonymous  3
 Oblicz granicę ciagu  :)  4
 Oblicz granicę ciągu  Anonymous  1
 Oblicz granicę ciągu - zadanie 2  Anonymous  1
 Granice ciągów  Anonymous  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl