szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Mały dowodzik
PostNapisane: 26 lut 2018, o 23:00 
Użytkownik

Posty: 306
Lokalizacja: Polska
Policz na 2 sposoby ile jest możliwości wyboru 3. rozdziałów z książki mającej ich n+1 , aby udowodnić tożsamość
\sum^{n}_{k=2} {k \choose 2} = {n+1 \choose 3} .
Wyprowadź z niej wzór na sumę kwadratów. Uogólnij tożsamość tak, by otrzymać wzór na {n+1 \choose m} .

Rozw:

1*: {n+1 \choose 3}

2*: {n+1 \choose 1} +{n \choose 1} + {n-1 \choose 1}

Ta tożsamość wygląda tak a nie inaczej, ale czy w jej zapisie nie ma błędu? (chcę się upewnić)
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Mały dowodzik
PostNapisane: 26 lut 2018, o 23:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13136
Lokalizacja: Wrocław
Nie rozumiem tego, co piszesz odnośnie rozwiązania zadania. Ja bym od razu udowadniał ogólniejszą tożsamość, o której napomknięto w treści zadania. A mianowicie,
\sum_{k=m-1}^{n}{k \choose m-1} ={n+1\choose m}
gdzie m,n \in \NN i m\le n+1.
Można to łatwo udowodnić indukcją po n\ge m-1 przy ustalonym m, aczkolwiek można też napisać interpretację kombinatoryczną. Interpretacja prawej strony jest dość jasna: {n+1\choose m} podzbiorów m-elementowych zbioru o n+1 elementach.
Po lewej stronie patrzymy na to trochę inaczej:
ustawmy te elementy w szeregu i je ponumerujmy i pomyślmy sobie o numerze, jaki będzie miał ostatni element, który dołączymy do naszego podzbioru m-elementowego. Jeśli będzie on miał numer m, to wybieramy m-1 spośród m-1 wcześniejszych, jeśli będzie on miał numer m+1, to wybieramy m-1 spośród m wcześniejszych na {m-1 \choose m} sposobów itd.

-- 26 lut 2018, o 23:59 --

Tak jeszcze dodam, że wspomnienie rozdziałów książki służyło właśnie temu, żeby łatwiej było wpaść na ten pomysł (dość naturalne jest, że rozdziały mają kolejność).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 do sprawdzianu. mały zawrót głowy  straciatella  3
 Mały problem z funkcją tworzącą  kogutto  1
 Liczby zespolone - mały problem ;/;/;/  marcin5063  3
 Jeżeli zbiory A i B są niezależne...dowodzik  natalianw  3
 [Równania] Dowodzik równości  Ewcia  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl