szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 lut 2018, o 22:23 
Użytkownik

Posty: 20
Ustalamy liczbę nieparzystą p>1 i rozważmy szereg \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{ z^{n p^{n} } }{n} . Wykazać, że szereg jest zbieżny w kole |z|<1 oraz, że istnieją zbiory gęste A,\,B na okręgu |z|=1 takie, że szereg jest zbieżny na A i rozbieżny na B.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2018, o 22:52 
Użytkownik

Posty: 12648
Część pierwsza idzie bezpośrednio z tw. Cauchy'ego-Hadamarda (chociaż można także potraktować to jak szereg liczbowy z parametrem z\in \CC i pokazać, że jest on bezwzględnie zbieżny z wykorzystaniem kryt. Cauchy'ego).
A co do tych zbiorów gęstych, gdy |z|=1, to możesz zapisać, że
z=\cos \varphi+i\sin \varphi dla pewnego \varphi \in [0,2\pi).
Z de Moivre'a masz wówczas
z^{np^n}=\cos\left( np^n \varphi\right) +i\sin\left( np^n \varphi\right)
Dalej zauważmy, że jeśli np^n\varphi>0 jest współmierne z \pi, tj. \frac{np^n\varphi}{\pi}\in \QQ, a równoważnie \frac{\varphi}{\pi}\in \QQ wobec założeń odnośnie p, to szereg
\sum_{}^{}  \frac{z^{np^n}}{n}, gdzie z=\cos \varphi+i\sin \varphi, jest zbieżny, a jeśli \varphi jest niewspółmierne z \pi, to ten szereg jest rozbieżny. To jednak należy jakoś uzasadnić, jak sądzę przyda się to:
95111.htm#p350493
Jeszcze trzeba z tym trochę pokombinować, ale mnie się teraz nie chce, powodzenia.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 mar 2018, o 00:43 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7835
Lokalizacja: Wrocław
Premislav napisał(a):
Dalej zauważmy, że jeśli np^n\varphi>0 jest współmierne z \pi, tj. \frac{np^n\varphi}{\pi}\in \QQ, a równoważnie \frac{\varphi}{\pi}\in \QQ wobec założeń odnośnie p, to szereg
\sum_{}^{}  \frac{z^{np^n}}{n}, gdzie z=\cos \varphi+i\sin \varphi, jest zbieżny, a jeśli \varphi jest niewspółmierne z \pi, to ten szereg jest rozbieżny.
Śmiałe stwierdzenie. :>

Proponuję coś pewniejszego: dla liczb postaci \varphi = \frac{\pi \cdot k}{p^m}, gdzie m, k \in \NN oraz 0 \le k < 2 \cdot p^m, jeśli k jest nieparzyste, to szereg (przy z = \cos \varphi + i \sin \varphi) jest zbieżny, a jeśli k jest parzyste, to szereg jest rozbieżny. Liczby obu typów leżą gęsto w przedziale [0, 2\pi], zatem odpowiadające im liczby z leżą gęsto na okręgu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 mar 2018, o 17:16 
Użytkownik

Posty: 12648
Oj bzdury straszne popisałem, dzięki że zwróciłeś na to uwagę.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbieżność szeregu - zadanie 253  ew_es  4
 Wyznaczyć promień zbieżności oraz wyznaczyć sumę szeregu  itam15  1
 Istnienie granicy szeregu  przemszy  2
 Kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej  artmat  2
 Zbieżność szeregu z definicji  maaatrix  3
cron
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl