szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 mar 2018, o 04:50 
Użytkownik

Posty: 374
Lokalizacja: Rzeszów
Chciałbym się podzielić nie tyle pełnym dowodem ( choć go raczej mam na trzech kartkach- właśnie, dowód jest żmudny), co samym pomysłem. W literaturze z której pochodzi ten dowód, ani słowem nie skomentowali idei dowodu niestety. Trzeba się podzielić.

Problem dotyczy twierdzenia, że dla dowolnych dwóch zbiorów dobrze uporządkowanych, jeden z nich jest podobny do przedziału początkowego drugiego.

Idea: Niech \left( X, \le  _{X} \right), \left( Y, \le  _{Y} \right) zbiory dobrze uporządkowane. Niech T\not\in Y ( w roli T może wystąpić Y, decydujemy się na oznaczenie T). Niech Z=Y  \cup \left\{ T\right\}, będzie uporządkowany relacją \le  _{Z}=\le  _{Y} \cup \left( Z \times \left\{ T\right\} \right)- czyli dobry porządek na Y zmieniamy, dodając jeden element T, jako największy. Zauważmy, że \left( Z, \le _{Z} \right) jest zbiorem dobrze uporządkowanym.

Idea dowodu polega na tym, aby zdefiniować przez indukcję pozaskończoną :lol: , funkcję h: X  \rightarrow Z- funkcję określoną na całym zbiorze X, przypisującą na kolejnych elementach zbioru X, kolejne elementy zbioru Y- a jest możliwe to zrobić w ten sposób (określić funkcję na całym zbiorze X), dzięki temu, że gdy wcześniej wyczerpią się elementy zbioru Y, to wtedy dalej kładziemy stale do końca element największy Z- T. Wtedy Y jest podobny do przedziału początkowego X. W przeciwnym przypadku, nie braknie nam elementów zbioru Y, i wtedy X jest podobny do przedziału początkowego Y.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 mar 2018, o 10:49 
Administrator

Posty: 22651
Lokalizacja: Wrocław
Bardzom ciekaw, jak chcesz zdefiniować przez rekursję pozaskończoną tę funkcję. Używasz potocznych określeń "kolejny element zbioru X" - co to znaczy?

Rekursja pozaskończona służy do definiowania funkcji określonych na liczbach porządkowych. I teraz:
- albo uważasz, że masz elementy zbioru X "ponumerowane" liczbami porządkowymi - ale wtedy zakładasz znajomość twierdzenia, że każdy dobry porządek jest izomorficzny z liczbą porządkową. Wówczas rozpatrywane twierdzenie jest jego prostym wnioskiem (wynika wprost z własności liczb porządkowych) i żadna rekursja nie jest potrzebna;
- albo nie zakładasz związku pomiędzy dobrymi porządkami a liczbami porządkowymi - ale wtedy nie wiem, jak używasz rekursji pozaskończonej.

Poruszasz się w obszarze bardzo podstawowych rozważań dotyczących liczb porządkowych i dobrych porządków. Tutaj trzeba bardzo uważać - istotne jest np. czym DOKŁADNIE jest u Ciebie definiowanie przez rekursję pozaskończoną bądź jak definiowane są liczby porządkowe. Te pojęcia wymagają spójnego wprowadzenia, żeby w każdym momencie było wiadomo, co już wiemy, a co dopiero musimy pokazać - jeżeli tego nie ma, to ciężko ocenić Twoje idee.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 mar 2018, o 01:11 
Użytkownik

Posty: 374
Lokalizacja: Rzeszów
Jan Kraszewski napisał(a):
Bardzom ciekaw, jak chcesz zdefiniować przez rekursję pozaskończoną tę funkcję.
Proszę bardzo: g:PF\left( X,Z\right)  \rightarrow Z, dla dowolnej funkcji częściowej r z X do Z:

g\left( r\right) =\min \left( \left( Z \setminus r _{P}\right) \cup \left\{ T\right\}   \right) .

\min \left( A\right) oznacza element najmniejszy zbioru A, r _{P} to zbiór wartości funkcji częściowej r.

Z twierdzenia o definiowaniu przez indukcję wynika, że istnieje funkcja h:X  \rightarrow Z, spełniająca równość:

h\left( x\right)=g\left( h \cap \left( O\left( x\right) \times Z \right) \right).

Jeśli zbiory X i Y są niepuste ( gdy tak nie jest, to łatwo sprawdzić, że teza jest spełniona), a więc mają elementy najmniejsze ( bo są dobrze uporządkowane) odpowiednio x i y. Wtedy:

h\left( x\right) =g\left( \hbox{ funkcja pusta}\right) =\min \left( Z\right) =\min \left( Y\right)=y.

Czyli na elemencie najmniejszym zbioru X, funkcja przyjmuję wartość elementu najmniejszego Y, czyli dobrze ( tzn. zgodnie z tym, aby funkcja h na kolejnych elementach zbioru X, przyjmowała wartości kolejnych elementów zbioru Y). Aha-
Jan Kraszewski napisał(a):
Używasz potocznych określeń "kolejny element zbioru X" - co to znaczy?
Tzn. po elemencie a, kolejny element to następnik a ( w zbiorze dobrze uporządkowanym, każdy element, który nie jest największy, ma następnik).

Łatwo się przekonać, że to działa.
Jan Kraszewski napisał(a):
Te pojęcia wymagają spójnego wprowadzenia, żeby w każdym momencie było wiadomo, co już wiemy, a co dopiero musimy pokazać
Spokojnie, wszystko mam spójnie wprowadzone, bez obaw. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 mar 2018, o 01:25 
Administrator

Posty: 22651
Lokalizacja: Wrocław
A jak wygląda Twoje twierdzenie o definiowaniu przez indukcję?

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 mar 2018, o 21:02 
Użytkownik

Posty: 374
Lokalizacja: Rzeszów
Jeśli \left( X, \le\right) jest zbiorem dobrze uporządkowanym, C \neq \left\{ \right\} jest niepustym zbiorem, g:PF\left( X,C\right)  \times X \rightarrow  C, to wtedy istnieje dokładnie jedna funkcja h:X \rightarrow C, spełniająca równość:

h\left( x\right)=g\left( \ h \cap \left( O\left( x\right) \times C \right), \ x \right) .

Przez PF\left( A,B\right) oznaczamy zbiór wszystkich funkcji częściowych z A do B.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 mar 2018, o 22:32 
Administrator

Posty: 22651
Lokalizacja: Wrocław
OK, a jak dowodzisz prawdziwości tego twierdzenia?

Tak czy inaczej widzę, że to jest chyba stara książka, unikająca współczesnego traktowania liczb porządkowych i operująca wyłącznie językiem dobrych porządków. Dla mnie to jednak dość niestrawne, ale to kwestia gustu.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 mar 2018, o 00:16 
Użytkownik

Posty: 374
Lokalizacja: Rzeszów
Tak, poza tym też już od jakiegoś czasu zauważyłem, że definiując ciąg przez indukcję pozaskończoną, robiąc to w ten sposób, to nie ma większego znaczenia czym są "kolejne" elementy zbioru dobrze uporządkowanego- one pełnią rolę jedynie numerów, więc dobrym zamiennikiem są liczby porządkowe- i chyba tak jest prościej, wygodniej. :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równolicznośc z zadaną metodą dowodu  Kartezjusz  3
 Ocena poprawności dowodu, zbiory potęgowe.  Zaratustra  7
 Problem z zapisem dowodu  timus221  5
 Sprawdzenie krótkiego dowodu  musialmi  4
 Poprawność dowodu - relacje  Johny94  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl