szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 mar 2018, o 22:33 
Użytkownik

Posty: 306
Lokalizacja: Polska
Cześć ;)
\sum_{k=1}^{n}  {n \choose k} k^{2}

przedstawić w zwartej postaci sumy, mam skorzystać z :
\sum_{k=1}^{n}  {n \choose k} k=n \cdot 2^{n-1}

Niezbyt mam chęć na korzystanie z owej podpowiedzi i chciałbym się zapytać czy wynikiem będzie:

\sum_{k=1}^{n}  {n \choose k}k^{2} =  \frac{(n+1)n(2n+1)}{6}  \cdot 2^{n}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 mar 2018, o 22:59 
Użytkownik

Posty: 12615
Interpretacja kombinatoryczna: wybieramy spośród n osób zarząd (o nieustalonej liczbie członków) Komitetu Wsparcia Jarosława Kaczyńskiego, przy czym spośród wybranych członków dokonujemy wyboru przewodniczącego i skarbnika i przyjmujemy, że funkcje te można łączyć.
Z jednej strony wybieramy k osób spośród n i na k^2 sposobów przydzielić możemy stanowiska przewodniczącego i skarbnika ({k \choose 1}{k \choose 1}), z drugiej strony
albo przewodniczącym i skarbnikiem będzie ta sama osoba, albo nie, jeśli będzie ta sama, to na n sposobów dobieramy przewodniczącego, który zarazem będzie skarbnikiem i możemy mu dobrać grupę z n-1 pozostałych, co odpowiada wyborowi podzbioru zbioru n-1-elementowego, czyli takich wyborów jest n2^{n-1}. Jeśli natomiast przewodniczącym i skarbnikiem będą dwie różne osoby, to na n sposobów wybieramy przewodniczącego, z pozostałych na n-1 sposobów wybieramy skarbnika, no i możemy jeszcze powiększyć zarząd (albo nie), co odpowiada wyborowi pewnej liczby spośród n-2 pozostałych, czyli wyborowi podzbioru zbioru n-2-elementowego (na 2^{n-2} sposobów). Takich możliwości jest zatem n(n-1)2^{n-2}.
Sumując, mamy
\sum_{k=1}^{n} {n \choose k} k^{2}=n2^{n-1}+n(n-1)2^{n-2}=n(n+1)2^{n-2}

To zadanie można zrobić inaczej, a mianowicie rozpisując
k^2{n \choose k}=k(k-1){n \choose k}+k {n\choose k}=n(n-1){n-2\choose k-2}+n{n-1\choose k-1} dla n\ge 2, czyli
\sum_{k=1}^{n} {n \choose k} k^{2}=n \sum_{k=1}^{n-1} {n-1\choose k-1}+n(n-1) \sum_{k=2}^{n} {n-2\choose k-2}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zwarta postać sumy - zadanie 9  Bartom  2
 Zwarta postać sumy - zadanie 6  krymeer  7
 zwarta postać sumy - zadanie 2  SzalonyMjut  1
 Zwarta postać sumy - zadanie 11  splinter  1
 Zwarta postać sumy - zadanie 5  krymeer  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl