szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Wyznacz sumę
PostNapisane: 5 mar 2018, o 22:44 
Użytkownik

Posty: 256
Lokalizacja: Polska
Wyznacz sumę: \sum_{k=0}^{n}  {n \choose k} ^{2}(-1)^{k}

\sum_{k=0}^{n}  {n \choose k} ^{2} =\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}  {n \choose n-k} = {n+n \choose n} = {2n \choose n}

Więc z tego możemy wnioskować że:

\sum_{k=0}^{n}  {n \choose k} ^{2}(-1)^{k}= \left( -1\right)^{k}{2n \choose n} ?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 mar 2018, o 23:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 11865
Lokalizacja: Wrocław
Oczywiście nie, ponieważ (-1)^k zależy od k.

Oznaczmy a_n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} ^{2}(-1)^{k}, wówczas zmieniając kolejność sumowania i korzystając z {n \choose k}={n\choose n-k} oraz (-1)^{-1}=-1 mamy:
2a_n= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}^2(-1)^k+ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}^2(-1)^{n-k}= \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}^2(-1)^k(1+(-1)^n)=\\=(1+(-1)^n) \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}^2(-1)^k
zatem gdy n jest nieparzyste, to a_n=0.

-- 5 mar 2018, o 23:23 --

Natomiast nie bardzo umiem sobie poradzić z tymi parzystymi. :( Nie będę na to poświęcać całego (późnego) wieczoru. Na siłę można to zrobić korzystając z tożsamości {k+1 \choose r+1}={k\choose r+1}+{k \choose r}, ale to jest naprawdę straszna siłownia.
Jeśli a_n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} ^{2}(-1)^{k}, to uzasadniłem wyżej, że a_{2n+1}=0 dla n=0,1,2\ldots
Ponadto
{2n+1 \choose k}^2-{2n \choose k}^2=\left({2n+1\choose k}-{2n \choose k} \right) \left( {2n+1 \choose k}+{2n \choose k}\right)=\\={2n \choose k-1}\left( {2n \choose k-1}+2{2n \choose k}\right)
i teraz mnożąc to stronami przez (-1)^k, sumując dla k=1\ldots 2n+1 otrzymujemy, ze
\sum_{k=1}^{2n+1} {2n+1\choose k}^2(-1)^k- \sum_{k=1}^{2n} {2n\choose k}^2(-1)^k=\\= \sum_{k=1}^{2n+1}{2n \choose k-1}^2(-1)^k+2 \sum_{k=1}^{2n}{2n\choose k-1}{2n\choose k}(-1)^k
i teraz należy wykorzystać a_{2n+1}=0, przesunąć indeksy w sumie
\sum_{k=1}^{2n+1}{2n \choose k-1}^2(-1)^k i jakoś zwinąć
2 \sum_{k=1}^{2n}{2n\choose k-1}{2n\choose k}(-1)^k
albo w ostateczności skorzystać z rachunku całkowego. Zostawiam to cholerstwo.

-- 5 mar 2018, o 23:33 --

Eksperymenty obliczeniowe sugerują, że
\sum_{k=0}^{2n} {2n\choose k}^2(-1)^k=(-1)^n {2n \choose n}
Jak ktoś jest cierpliwy, to może spróbować to udowodnić indukcyjnie, ale ja odpuszczam.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznacz Sumę  buuulaaa  2
 Wyznacz sumę - zadanie 2  szymon91  1
 wyznacz sume  kona  13
 wyznacz sume - zadanie 2  gabor94  0
 wyznacz sume - zadanie 3  gabor94  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl