szukanie zaawansowane
 [ Posty: 16 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Warstwy podgrup
PostNapisane: 6 mar 2018, o 14:57 
Użytkownik

Posty: 306
Lokalizacja: Polska
Wyznacz warstwy następujących podgrup H w grupie G:
3. H = \RR  \times  \{0\}, G = (\RR^{2}, +)
4. H = \left\{ (x, x) : x \in \RR,\right\}  G = (\RR^{2}, +)
5. H = \left\{ 1, i, -1, -i\right\} , G = (\{z \in \CC : |z| = 1\},  \cdot )
6. H = \left\{ 0, \alpha\right\} , G = D_{8}

Najpierw orientacyjnie w podpunkcie nr 3,4. odpowiedź będzie zbiorem \RR^{2} ?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Warstwy podgrup
PostNapisane: 6 mar 2018, o 17:35 
Administrator

Posty: 22890
Lokalizacja: Wrocław
aolo23 napisał(a):
Najpierw orientacyjnie w podpunkcie nr 3,4. odpowiedź będzie zbiorem \RR^{2} ?

Ta odpowiedź jest niezbyt sensowna - warstwa jest całą grupą tylko wtedy, gdy ilorazujesz przez podgrupę trywialną.

Widać, że masz kłopot z intuicją w tym zadaniu. Weź sobie konkretny element spoza H, np. w 3. (0,1), napisz Z DEFINICJI, czym jest warstwa tego elementu, a potem zobacz, co wyszło.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 mar 2018, o 00:26 
Użytkownik

Posty: 306
Lokalizacja: Polska
def : aH = \left\{ ah : h \in H\right\}

Po mojemu bierzemy elemnty z H robimy działamy działaniem z zadanej grupy i patrzymy co nam powstaje
Odniosę się do przykładu 3

x,y,z \in \RR,\ (x,0) \in H , \ (y,z) \in G
Dlatego skoro mamy w grupie G działanie "+", to nie widzę innej opcji ażeby warstwa która powstanie to jakaś para (x_{1},y_{1}) \in \RR^{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 mar 2018, o 02:18 
Administrator

Posty: 22890
Lokalizacja: Wrocław
aolo23 napisał(a):
def : aH = \left\{ ah : h \in H\right\}

Po mojemu bierzemy elemnty z h robimy działamy działaniem z zadanej grupy i patrzymy co nam powstaje

Definicja jest w porządku, ale niestety nie chcesz jej użyć.

aolo23 napisał(a):
x,y,z \in \RR,\  (x,0) \in H, \ (y,z) \in G
Dlatego skoro mamy w grupie G działanie "+", to nie widzę innej opcji ażeby warstwa która powstanie to jakaś para (x_{1},y_{1}) \in \RR^{2}

Zamiast zrobić, co Ci powiedziałem, to zastanawiasz się, co widzisz, a czego nie (pomijając już, że nie bardzo rozumiem, co miałoby znaczyć zdanie, które napisałeś).

Miałeś z definicji zapisać, czym jest np. (0,1)+\RR\times\{0\}. Zrób to:

(0,1)+\RR\times\{0\}=...

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 mar 2018, o 10:45 
Użytkownik

Posty: 306
Lokalizacja: Polska
\left( 0,1\right) + \RR \times \left\{ 0\right\}=\left\{ (x,1):x \in \RR\right\}
Wciąż nie czuję tego
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 mar 2018, o 11:15 
Administrator

Posty: 22890
Lokalizacja: Wrocław
aolo23 napisał(a):
\left( 0,1\right) + \RR \times \left\{ 0\right\}=\left\{ (x,1):x \in \RR\right\}

Teraz dobrze. Jak widzisz, nie jest to \RR^2...

aolo23 napisał(a):
Wciąż nie czuję tego

Powiem Ci, z czego to wynika - na Wstępie do matematyki nie zrozumiałeś dobrze relacji równoważności. Szukanie warstw to szukanie klas abstrakcji pewnej relacji równoważności, czyli pewnego podziału/rozbicia grupy, którą się zajmujemy.

A wracając do poprzedniego przykładu: wyznaczyłeś warstwę \left( 0,1\right). Powinieneś wiedzieć, że warstwą elementu neutralnego, czyli (0,0), jest sama podgrupa. W tym podpunkcie warto popatrzeć na to geometrycznie (czyli skorzystaj z rysunku...): czym są te warstwy i jaki mają związek z elementami, które je wyznaczają? Jak to zobaczysz, od razu będziesz wiedział, czym jest zbiór wszystkich warstw.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 mar 2018, o 13:42 
Użytkownik

Posty: 306
Lokalizacja: Polska
\left( 0,1\right) + \RR \times \left\{ 0\right\}=\left\{ (x,1):x \in \RR\right\}
No dobrze ale co mi to daje ?
mogę równie dobrze brac elementy (1,0) \in G, wtedy
\left( 1,0\right) + \RR \times \left\{ 0\right\}=\left\{ (x,0):x \in \RR\right\}
Albo (5,5)
\left( 5,5\right) + \RR \times \left\{ 0\right\}=\left\{ (x,5):x \in \RR\right\}

itd (chociaż można tu dostrzec małą prawidłowość , że jest zgodność 2gich slotów w parze )
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 mar 2018, o 13:50 
Administrator

Posty: 22890
Lokalizacja: Wrocław
Daje Ci po pierwsze to, że już wiesz, iż Twoja pierwotna odpowiedź była niepoprawna. Po drugie zaś daje Ci szansę nie tylko rachowania tych warstw, ale zobaczenia ich.

Wracam do tego, co napisałem - jeżeli nie poprawisz swojego rozumienia relacji równoważności i tego, co jest z nimi związane, to będziesz tak się męczył przy każdym kolejnym przykładzie.

Zauważ, że problem wyznaczenia zbioru warstw tej podgrupy w zad. 3 jest tożsamy z wyznaczeniem zbioru ilorazowego relacji równoważności R na zbiorze \RR^2 zadanej warunkiem

(x,y)R(a,b)\iff y=b.

Zrobiłeś rysunek?

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 mar 2018, o 18:04 
Użytkownik

Posty: 306
Lokalizacja: Polska
Co do relacji to zapisał Pan moje spostrzeżenie odnośnie zgodności drugich slotów, tylko ze bardziej formalnie (za co dziękuje).
H = \RR \times \{0\}, G = (\RR^{2}, +)

Zatem mógłbym to ująć w ten sposób iż (x,y) \in G oraz (a,0) \in \RR  \times \{0\}
zatem warstwa tej grupy będzie wyglądała następująco :
\left( x,y\right)+\left( a,0\right)  =\{(x+a,y): x,y \in \RR \}

Co do rysunku nie mam pojęcia o co chodzi ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 mar 2018, o 18:33 
Administrator

Posty: 22890
Lokalizacja: Wrocław
aolo23 napisał(a):
Zatem mógłbym to ująć w ten sposób iż (x,y) \in G oraz (a,0) \in \RR  \times \{0\}
zatem warstwa tej grupy będzie wyglądała następująco:
\left( \green x,y\black\right)+\left( a,0\right)  =\{(\blue x\black+a,\blue y\black): \blue x,y\black \in \RR \}

To, co napisałeś, nie ma niestety sensu: x,y po lewej stronie (zielone) to zmienne wolne, ale te same x,y po prawej stronie (niebieskie), to już zmienne związane. Byt po lewej stronie to element \RR^2, a byt po prawej stronie to podzbiór \RR^2.

Nie panujesz nad stroną formalną.

aolo23 napisał(a):
Co do rysunku nie mam pojęcia o co chodzi ;)

Nie zauważyłeś, że grupa to płaszczyzna, a warstwy to pewne proste?

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 mar 2018, o 18:58 
Użytkownik

Posty: 306
Lokalizacja: Polska
\left( x,y\right)+\left( a,0\right) =\{(t+a,w): t,w \in \RR \}
A taki zapis załatwia sprawę? przyjmując wcześniejsze założenia?
Co do rysunku to może i tak, jednakże wolę zapis matematyczny ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 mar 2018, o 19:08 
Administrator

Posty: 22890
Lokalizacja: Wrocław
aolo23 napisał(a):
\left( x,y\right)+\left( a,0\right) =\{(t+a,w): t,w \in \RR \}
A taki zapis załatwia sprawę? przyjmując wcześniejsze założenia?

No skąd, dalej po lewej masz element płaszczyzny, a po prawej podzbiór. Dodatkowo po lewej masz x,y, a po prawej nie...

aolo23 napisał(a):
Co do rysunku to może i tak, jednakże wolę zapis matematyczny ;)

To, co nazywasz "zapisem matematycznym" ma sens tylko wtedy, jak rozumiesz, co opisuje. A z tym jest kłopot. Gdybyś rozumiał, jakie znaczenie ma to, co "zapisujesz matematycznie", to może nie robiłbyś takich błędów, jak powyżej.

A błędy biorą się też z tego, że używasz formalizmu "po uważaniu". Piszesz, że opisujesz warstwy, po czym - zamiast korzystać z definicji warstwy - zapisujesz znaczkami to, co Ci się wydaje. Gdy zrobiłeś to, co poleciłem Ci zrobić, to było OK, ale potem, zamiast to uogólnić, znowu zacząłeś działać "po swojemu" i efekty nie są dobre...

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 mar 2018, o 19:31 
Użytkownik

Posty: 306
Lokalizacja: Polska
To jak w takim razie wygląda poprawny zapis tego co źle zapisuje (to na kolorowo)?
gH=g+H=...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 mar 2018, o 19:47 
Administrator

Posty: 22890
Lokalizacja: Wrocław
Twój problem polega na tym, że nawet nie bardzo wiesz, co masz zapisać. Polecenie jest takie, że masz opisać warstwy danej podgrupy w danej grupie. Żeby móc to skutecznie zrobić, musisz najpierw odkryć/zbadać/zrozumieć, jak te warstwy wyglądają. I w tym starałem Ci się pomóc.

Natomiast Ty nie chciałeś podążyć tym tropem - stwierdziłeś, że uzyskasz wynik manipulując znaczkami. No i nie wyszło - manipulowałeś fatalnie. Ale nawet gdybyś manipulował lepiej, to nie wiem, czy doszedłbyś do poprawnego rozwiązania - bo obawiam się, że nie wiesz, do czego masz dojść...

Powtórzę to, co powtarzam wielokrotnie: matematyka to nie manipulowanie znaczkami. Znaczki służą tylko do wygodnego zapisania tego, co wcześniej zrozumieliśmy.

Ponieważ niespecjalnie chce mi się naprowadzać Cię po raz kolejny na rozwiązanie, więc Ci je podam i zobaczymy, czy je zrozumiesz. Odpowiedź w zadaniu 3. wygląda tak:

\RR\times\{a\}, gdzie a\in\RR.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 mar 2018, o 21:12 
Użytkownik

Posty: 306
Lokalizacja: Polska
H = \left\{ (x, x) : x \in \RR,\right\} G = (\RR^{2}, +)
\left\{ (x+h,y+h): h \in \RR \right\}
coś w tym stylu w tym przykładzie?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 16 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznaczyć warstwy grup względem danej podgrupy.  aska2764  4
 warstwy pierścienia względem ideału - zadanie 2  isanaaa  1
 Problem z wyznaczeniem podgrup  Wojtolino  2
 Cztery zadania ze sprzężeń i podgrup Sylowa  Django  0
 Iloczyn podgrup nie jest podgrupą  SherlockH  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl