szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Oblicz sumę
PostNapisane: 11 mar 2018, o 09:50 
Użytkownik

Posty: 18
Lokalizacja: Gdańsk
Oblicz sumę\sum_{A,B \subseteq \left\{ 1, ..., n\right\} }^{}card \left( A \cup B \right).

Wydaje mi się że będzie to: \sum_{i=0}^{n} {n \choose i} \sum_{k=0}^{n} \sum_{t=0}^{k} {i\choose t}  {n-i \choose k-t} \left( k-t+i \right)
To uzasadniam następująco. Wybieram podzbiór i-elementowy z n (zbiór A). Później biorę na wszystkie możliwe sposoby zbiory B (o rozmiarze k) i mnożę razy rozmiar sumy k-t+i.
Jest równoważne: \sum_{i=0}^{n} {n \choose i} \sum_{k=0}^{n}  \left( {n \choose k-1} + i {n \choose k}  \right)

A to zwija sie do n2 ^{2n}

Czy ktoś mógłby potwierdzić/zaprzeczyć?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Oblicz sumę
PostNapisane: 11 mar 2018, o 18:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3469
Lokalizacja: blisko
Sprawdź sobie czy działa dla.: n=2 , bo coś mi się widzi, że nie...
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Oblicz sumę
PostNapisane: 11 mar 2018, o 18:48 
Użytkownik

Posty: 18
Lokalizacja: Gdańsk
A ma ktoś wtedy pomysł jak to zrobić, bo to rzeczywiście nie działa :cry:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 mar 2018, o 23:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3469
Lokalizacja: blisko
Taki pomysł:

Wybierz sobie zbiór s elementowy ze zbioru n elementowego na:

{n \choose s}

sposobów.

teraz ten zbiórs elementowy podziel na 3 rozłączne zbiory , znaczy na:

A \setminus B, A \cap B, B \setminus A

odpowiednio:

i, j, k - elementowe,

i+j+k=s

na sposobów:

{s \choose i,j,k}

Każdy zbiór s elementowy ma s elementów a więc sumujemy podwójnie:

\sum_{s=1}^{n} {n \choose s}s \cdot \left[  \sum_{i+j+k=s}^{}  {s \choose i,j,k} \right]

= \sum_{s=1}^{n} {n \choose s} \cdot s \cdot 3^s

i masz wzór,

sprawdzamy dla:

n=2


{2 \choose 1} \cdot 1 \cdot \left[  {1 \choose 1,0,0}+{1 \choose 0,1,0}+{1 \choose 0,0,1} \right]+\\+ {2 \choose 2} \cdot 2 \cdot   \left[  {2\choose 2,0,0}+ {2 \choose 0,2,0}+ {2 \choose 0,0,2}+ {2 \choose 1,1,0}+ {2 \choose 1,0,1}+ {2 \choose 0,1,1} \right] =\\ =6+18=24

Co zgadza się z doświadczeniem...

Teraz niech jakiś:

1 \wedge  \frac{3}{8}

inteligent go zwinie...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Oblicz sume - zadanie 42  Corey  2
 Oblicz sumę - zadanie 52  xxxxxxx  19
 Oblicz sumę - zadanie 58  Axyomat  2
 Oblicz sume - zadanie 61  Instru  0
 Oblicz sumę - zadanie 62  cis123  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl