szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 13 mar 2018, o 16:46 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Rzeszów
Udowodnij, że liczba 111111111111111 dzieli się przez 1111.

Problem w tym, że te liczby nie dzielą się przez siebie :|
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 mar 2018, o 16:59 
Użytkownik

Posty: 72
Lokalizacja: Warszawa
Hatsjie napisał(a):
Problem w tym, że te liczby nie dzielą się przez siebie :|


No to pokaż, że tak nie jest. ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 mar 2018, o 17:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 684
Lokalizacja: Wrocław
Można by taki dowód przedstawić po prostu w postaci dzielenia pisemnego? Przecież przy tak małych liczbach, to by była najprostsza i niewątpliwie niepodważalna metoda. Można dzięki temu wykazać zarówno podzielność, jak i niepodzielność.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 13 mar 2018, o 17:14 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Rzeszów
No tak
A czy to wykazanie jest dobre?:

111111111111111 nie dzieli się przez 1111 bo liczba cyfr 1. liczby nie dzieli się przez liczbę cyfr 2. liczby

111111111111111 : 1111= n\ r.\ x, gdzie x>0 bo
15:4=3\ r.\ 3

-- 13 mar 2018, o 16:21 --

Bierut napisał(a):
Można by taki dowód przedstawić po prostu w postaci dzielenia pisemnego? Przecież przy tak małych liczbach, to by była najprostsza i niewątpliwie niepodważalna metoda. Można dzięki temu wykazać zarówno podzielność, jak i niepodzielność.

Tak w tym przypadku można, ale jakby były większe liczby to jak to można by było inaczej udowodnić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 mar 2018, o 17:58 
Administrator

Posty: 22655
Lokalizacja: Wrocław
Hatsjie napisał(a):
111111111111111 nie dzieli się przez 1111 bo liczba cyfr 1. liczby nie dzieli się przez liczbę cyfr 2. liczby

111111111111111 : 1111= n\ r.\ x, gdzie x>0 bo
15:4=3\ r.\ 3

Na ale to jest stwierdzenie, którego nie udowodniłaś - dlaczego fakt, że liczba cyfr 1. liczby nie dzieli się przez liczbę cyfr 2. liczby ma świadczyć o tym, że pierwsza liczba nie jest podzielna przez drugą?

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 mar 2018, o 19:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 684
Lokalizacja: Wrocław
Mam taki pomysł.

Rozbijamy liczbę na czynniki pierwsze:
1111=11\cdot101

Czyli liczba jest podzielna przez 1111, jeżeli jest podzielna jednocześnie przez 11 oraz 101.

- Liczba jest podzielna przez 11, jeśli po odjęciu sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych otrzymamy liczbę podzielną przez 11.
Źródło z dowodem - Wikipedia: https://pl.wikipedia.org/wiki/Cecha_pod ... 7_przez_11

- Liczba jest podzielna przez 101, jeśli po podzieleniu od końca danej liczby w pary, na zmianę dodając i odejmując dane pary, otrzymamy liczbę podzielną przez 101.
Źródło z dowodem - matematyka.pl: 250613.htm#p941942
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 mar 2018, o 19:09 
Administrator

Posty: 22655
Lokalizacja: Wrocław
Bierut, Ty to lubisz sobie życie komplikować...

Przecież

111111111111111=1111\cdot 10^{11}+1111\cdot 10^7+1111\cdot 10^3+111

skąd od razu widać, że

111111111111111\equiv 111\pmod{1111}.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 mar 2018, o 19:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 684
Lokalizacja: Wrocław
Chciałem znaleźć jakąś bardziej ogólną metodę dla dowolnych liczb. Jednak w zadaniu rzeczywiście chodzi jedynie o liczby składające się z samych jedynek. W takim wypadku zawsze da się je rozpisać tak, jak przedstawiłeś.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 Sprawdz czy liczba jest złożona  Anonymous  6
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnić, że liczba jest niewymierna - zadanie 4  Anonymous  11
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl