szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 13 mar 2018, o 16:56 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Rzeszów
Jakie liczby pierwsze są różnicami kwadratów dwóch liczb naturalnych?

Tak na logikę to wyszło, że wszystkie oprócz 2 ale nie wiem jak to matematycznie zapisać
bo:
a^{2} -  b^{2} , gdzie a>b i b>0
więc
najmniejsza a to 2
a najmniejsza b to 1
2^{2} + 1^{2} = 4-1=3
i wychodzi, że najmniejszą liczbą pierwszą, która jest różnicą kwadratów dwóch liczb naturalnych jest 3

Tylko jak to lepiej zapisać?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 mar 2018, o 17:35 
Użytkownik

Posty: 12537
No masz rację, wszystkie oprócz 2.
Zwięźle zapisując, p=\left( \frac{p+1}{2}\right)^2 -\left( \frac{p-1}{2}\right)^2 i zarówno \frac{p+1}{2} jak i \frac{p-1}{2} są całkowite dla liczby pierwszej p\ge 3 (bo takowa jest nieparzysta).

-- 13 mar 2018, o 16:38 --

A ponieważ kwadrat liczby całkowitej daje resztę 0 lub 1 z dzielenia przez 4, więc różnica kwadratów daje resztę 0, 1 lub 3 z dzielenia przez 4.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 mar 2018, o 13:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1306
Lokalizacja: hrubielowo
Można ogólniej zauważyć że każdą liczbę nieparzystą zapiszemy jako różnice kwadratów. Dowód (k+1)^2-k^2=2k+1. Więc każdą liczbę pierwszą z wyjątkiem 2 można tak zapisać. 2 odpada można to pokazać nie wprost ale teraz nie mam czasu bo idę poświęcić jajka.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 mar 2018, o 13:54 
Użytkownik

Posty: 15128
Lokalizacja: Bydgoszcz
A dwójki się nie da, bo jeżeli 2=(a+b)(a-b) to po prawej stronie są czynniki o tej samej parzystości, więc prawa strona jest równa co najmniej 4 lub jest nieparzysta.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 mar 2018, o 14:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1306
Lokalizacja: hrubielowo
tak o to właśnie chodziło dziękuję a4karo.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznacz liczby dla których wyrażenie jest podzielne przez  Anonymous  6
 Podaj przykład liczby  kordak  7
 różnica kwadratów  mapiech  4
 Znajdź n dla których liczby a, b są względnie pierwsze  Anonymous  3
 Ciekawe Liczby  Anonymous  12
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl