szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 mar 2018, o 19:00 
Użytkownik

Posty: 1708
Lokalizacja: Kraków
Niech G będzie grupą. Czy wówczas, dla każdych x, y  \in  G, x, y  \neq  1 zachodzi równość
x^{-2}y^3[G, G] = y^2x^{-1}y[G, G].?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2018, o 01:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3272
Lokalizacja: blisko
Coś mi się tu nie bardzo zgadza jakoś:

Przyjmijmy:

K=[G,G]

L- mnożenie lewostronne,

P- mnożenie prawostronne


x^{-2}y^3K=y^2x^{-1}yK /*y^{-3} ,  P

x^{-2}y^3Ky^{-3}=y^2x^{-1}yKy^{-1}y^{-2}

Ponieważ K jest normalna zajdzie:

x^{-2}K=y^2x^{-1}Ky^{-2} /*y^{-2}, L

y^{-2}x^{-2}K=x^{-1}Ky^{-2} /*x^2, L

x^2y^{-2}x^{-2}K=xKy^{-2}/*y^2, L

y^2x^2y^{-2}x^{-2}K=y^2xKy^{-2}

A ponieważ, K jest komutantem to mamy:

K=y^2xKy^{-2}/*y^2 , P

Ky^2=y^2xK /*y^{-2} , L

y^{-2}Ky^2=xK

Ponieważ K jest normalna , więc:

K=xK

Co niekoniecznie musi być zawsze prawdą.

Chyba, że coś przeoczyłem...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2018, o 01:09 
Administrator

Posty: 22544
Lokalizacja: Wrocław
arek1357 napisał(a):
Coś mi się tu nie bardzo zgadza jakoś:

No przecież pytanie było "Czy...?".

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 mar 2018, o 00:29 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7745
Lokalizacja: Wrocław
Prościej: G / [G, G] jest grupą abelową, zatem

y^2 x^{-1} y [G, G] = x^{-1} y^3 [G, G],

zatem równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x = 1. Nietrudno wymyślić kontrprzykład, np. G = \ZZ, [G, G] = \{ 0 \}, x = y = 1. (teoretycznie miało być x, y \neq 1, ale jedynka jedynce nierówna :p)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Grupa i półgrupy  michcio19923  8
 grupa ilorazowa - zadanie 9  ardnaskelia  1
 grupa rozwiązywalna  111sadysta  3
 Grupa ilorazowa - zadanie 11  blade  4
 Sprawdź czy zbiór z działaniem jest grupą - zadanie 2  Syzak  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl