szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2018, o 18:06 
Użytkownik

Posty: 1708
Lokalizacja: Kraków
Czy istnieje działanie bez punktów stałych grupy A_5 na zbiorze 17-elementowym?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2018, o 23:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3272
Lokalizacja: blisko
Sprawdź czy jest taka permutacja parzysta A_{5} bez punktów stałych, która wygeneruje zbiór
17 elementowy...

Wypiszesz permutacje A_{5} i będziesz wiedział...

Według mnie takiego działania nie ma..
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 mar 2018, o 00:40 
Użytkownik

Posty: 1708
Lokalizacja: Kraków
Ale tych permutacji jest 60 to dość ciężko sprawdzić. To zadanie powinno się jakoś za pomocą orbit robić, ale nie wiem jak.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 mar 2018, o 11:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3272
Lokalizacja: blisko
Cytuj:
Według mnie takiego działania nie ma..


Nie podpisuję się pod tym co napisałem, ale

Będzie to grupa izomorficzna zA_{5} ale działająca na zbiorze 17 elementowym , a więc
izomorficzna z pewną podgrupą bezpośrednio A_{17}, najpierw dobierz taką parzystą permutację bez punktów stałych o 17 elementach...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 mar 2018, o 00:30 
Użytkownik

Posty: 1708
Lokalizacja: Kraków
Znaczy to ponoć jest tak, że bierzemy rząd tego A_5 to jest 60 i patrzymy na dzielniki tego czyli 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60 i z tych dzielników trzeba uzbierać sumę równą te 17 tylko bez jedynki i jeszcze mają istnieć podgrupy tego rzędu co te dzielniki, w tym wypadku chyba 5 i 12 działa, chociaż nie wiem jak sprawdzić czy w tym A_5 istnieją grupy tych rzędów. Dobrze jakbyś ktoś do tego teorie dopisał.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 mar 2018, o 10:43 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7745
Lokalizacja: Wrocław
Przypomnę, że działanie grupy G na zbiorze S nazywamy tranzytywnym, jeśli S składa się z jednej orbity tego działania, czyli inaczej (\forall s_1, s_2 \in S)(\exists g \in G) \, g \cdot s_1 = s_2.

Lemat 1. Niech H \le G. Wtedy istnieje zbiór S wraz z punktem s \in S oraz tranzytywne działanie G na S, takie że H = \mathrm{Stab}(s).

Dowód. Wystarczy przyjąć S = G/H wraz z działaniem przez lewe przesunięcia, tj. dla g \in G i A \in G/H określamy g \cdot A = \{ g \cdot a : a \in A \}. Nietrudno sprawdzić, że powyższy wzór zadaje działanie grupy G na zbiorze S i że jest ono tranzytywne. Teraz przyjmijmy s = H \in S. Wtedy

\mathrm{Stab}(s) = \{ g \in G : g \cdot H = H \} = \{ g \in G : g \in H \} = H,

co kończy dowód lematu.


Lemat 2. Niech G będzie grupą oraz n \in \NN \setminus \{ 0 \}. Wtedy

istnieje tranzytywne działanie G na zbiorze n-elementowym \iff istnieje podgrupa H \le G indeksu n.

Dowód. (\implies)
Niech S będzie zbiorem n-elementowym, na którym G działa tranzytywnie, i weźmy s \in S. Wtedy H = \mathrm{Stab}(s) \le G jest indeksu n na mocy znanego faktu, że

| G \cdot s | = [G : \mathrm{Stab}(s)],

przy czym | G \cdot s | = |S| = n, bo działanie jest tranzytywne.

(\impliedby)
Z lematu 1, istnieje tranzytywne działanie grupy G na zbiorze S oraz element s \in S, takie że \mathrm{Stab}(s) = H. Znów z tranzytywności działania otrzymujemy

|S| = | G \cdot s | = [G : \mathrm{Stab}(s)] = [ G : H ] = n. \quad \square


Załóżmy teraz, że grupa G działa na n-elementowym zbiorze S (niekoniecznie tranzytywnie). Takie działanie zadaje rozkład S na orbity \{ G \cdot s : s \in S \} = \{ \mathcal{O}_1, \ldots, \mathcal{O}_k \} i G działa tranzytywnie na każdej z tych orbit. Oznaczmy n_i = |\mathcal{O}_i|. Otrzymujemy wtedy rozkład

n = n_1 + \ldots + n_k,

taki że dla i = 1, 2, \ldots, k istnieje tranzytywne działanie G na zbiorze n_i-elementowym (mianowicie: na orbicie \mathcal{O}_i).

Z drugiej strony, dla każdego rozkładu

n = n_1 + \ldots + n_k,

jeśli dla i = 1, 2, \ldots, k istnieje tranzytywne działanie G na n_i-elementowym zbiorze S_i, to istnieje działanie G na zbiorze n-elementowym, mianowicie na zbiorze S = S_1 \mathrel{\dot{\cup}} \ldots \mathrel{\dot{\cup}} S_k z działaniem G na S złożonym z działania na zbiorach S_i.


Na mocy powyższego rozumowania oraz lematu 2, Twoje zadanie sprowadza się do znalezienia rozkładu 17 = n_1 + \ldots + n_k, przy czym n_i \neq 1 (bo to odpowiada orbicie jednoelementowej, czyli punktowi stałemu działania), takiego że dla i = 1, \ldots, k istnieje podgrupa H_i \le A_5 indeksu n_i. A więc dla rozkładu 17 = 12 + 5, który znalazłeś, powinieneś znaleźć grupy H_1, H_2 \le A_5 indeksu 12 i 5 odpowiednio, ale skoro |A_5| = 60, to |H_1| = \frac{60}{12} = 5 i |H_2| = \frac{60}{5} = 12.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 mar 2018, o 17:44 
Użytkownik

Posty: 1708
Lokalizacja: Kraków
Aha no to w takim razie to zachodzi chyba coś takiego A_1 \subset A_2 \subset ...A_n, a nawet chyba tyle A_1 \le A_2 \le ... \le A_n, zatem A_4 jest podgrupą A_5 o mocy 12. I jeszcze podgrupa generowana przez (12)(23)(34)(45)=(12345) jest podgrupą mocy 5. Tak?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 mar 2018, o 18:31 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7745
Lokalizacja: Wrocław
Tak.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 czy działanie * jest wewnętrzne?  cycu  5
 Sprawdź czy działanie posiada element neutralny  mCichy13  1
 Udowodnić, że działanie jest zwykłym dodawaniem  predator45  6
 Działanie w zbiorze, element neutralny i odwrotny  Katee  3
 Czy działanie ma element neutralny  adrian1992ii  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl