szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 mar 2018, o 04:39 
Użytkownik

Posty: 61
Lokalizacja: Polska
Dzień dobry,

tym razem mam pytanie o jądro homomorfizmu grup. Skoro z definicji funkcja przekształcająca zbiór elementów jednej grupy w zbiór elementów drugiej jest bijekcją, a ponadto element neutralny działania jest tylko jeden, to czy prawdą jest, że:

1) jądro homomorfizmu musi zawsze istnieć,

2) jądro homomorfizmu musi zawsze być jednoelementowe?

Jeśli nie, poproszę o kontrprzykład.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 mar 2018, o 06:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13305
Lokalizacja: Wrocław
Nie każdy homomorfizm grup przekształca (bijektywnie) zbiór elementów jednej grupy w zbiór elementów drugiej, np. przeważnie kontrprzykładem jest homomorfizm trywialny (który wszystko przenosi na element neutralny).
A jądro homomorfizmu zawsze jest niepuste (chyba tego w istocie tyczy się pytanie, ale ściśle patrząc to jest inne pytanie niż „czy zawsze istnieje", choć i tak odpowiedź jest twierdząca), bo jak masz homomorfizm grup \varphi: G\rightarrow H, to do jądra tego homomorfizmu zawsze należy element neutralny z grupy G.
Może Ty pisałeś o izomorfizmie grup, sądząc po tym sformułowaniu. Jądro izomorfizmu grup musi być zawsze jednoelementowe (gdyż w szczególności izomorfizm grup jest injekcją i homomorfizmem grup), natomiast jądro homomorfizmu grup może mieć przeróżną moc, np. dla homomorfizmu trywialnego z (\ZZ,+) w (\ZZ_3,+3) jądrem jest całe \ZZ, a dla homomorfizmu z \ZZ w \ZZ/3\ZZ danego przez \varphi(x)=x\pmod{3} (reszta z dzielenia x przez 3) jądrem jest zbiór liczb całkowitych podzielnych przez trzy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 mar 2018, o 07:03 
Użytkownik

Posty: 61
Lokalizacja: Polska
Tak, faktycznie użyłem złego sformułowania. Oczywiście chodziło mi o izomorfizm. To teraz już mam sprawę jasną, dziękuję.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 mar 2018, o 07:05 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13305
Lokalizacja: Wrocław
Tylko jedna kosmetyczna poprawka w moim poście, za wcześnie wstawać nie jest dobrze, trochę spaliłem, ściśle patrząc x\pmod{3} nie jest elementem \ZZ/3\ZZ (chyba że utożsamimy ze sobą grupy, które są izomorficzne). Elementem \ZZ/3\ZZ będzie x\pmod{3}+3\ZZ. Sorry.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 mar 2018, o 23:24 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8228
Lokalizacja: Wrocław
Premislav napisał(a):
Elementem \ZZ/3\ZZ będzie x\pmod{3}+3\ZZ.
Czyli x + 3 \ZZ. :p
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 mar 2018, o 10:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13305
Lokalizacja: Wrocław
Nie rozumiem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 mar 2018, o 11:01 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8228
Lokalizacja: Wrocław
x \pmod{3} + 3 \ZZ = x + 3 \ZZ dla każdego x \in \ZZ - to trochę upraszcza zapis.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 mar 2018, o 19:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13305
Lokalizacja: Wrocław
A, faktycznie. Przecież to tylko moja fanaberia, że chcę mieć akurat takich reprezentantów klas abstrakcji.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 pytanie o podgrupy  milen_a  1
 zadanie z teorii grup  freeze2  7
 Wyznaczyć wszystkie homomorfizmy grup  edzioedzio55  3
 Pytanie odnośnie zapisu, znaczenia - zadanie 2  aolo23  0
 Wyznaczyć warstwy grup względem danej podgrupy.  aska2764  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl