szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 mar 2018, o 00:16 
Użytkownik

Posty: 1919
Lokalizacja: Kraków
Czy grupa przemienna rzędu 625, w której elementów rzędu 25 jest dokładnie 20 jest cykliczna?

Przypuszczam, że jest cykliczna, bo jest takie twierdzenie, że jeśli k|n to w grupie cyklicznej rzędu n jest dokładnie jest \varphi (k) elementów rzędu k.

Zatem jeśli ta grupa jest cykliczna to elementów rzędu 25 jest tyle co liczb względnie pierwszych z 25 i mniejszych od niej czyli 20. Ale czy w drugą stronę to działa? Nie wiem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 mar 2018, o 11:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2864
Lokalizacja: Radom
Rozpisz sobie z klasyfikacji grup abelowych skończenie generowanych jakie są możliwe grupy rzędu 625 i policz w każdej z nich liczbę elementów rzędu 25.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 mar 2018, o 18:43 
Użytkownik

Posty: 1919
Lokalizacja: Kraków
Aha no dobra to mamy tak:
\ZZ_{625} ma \varphi (25) elementów rzędu 25 czyli 20
\ZZ_{125} ma \varphi (25) elementów rzędu 25 czyli 20
\ZZ_{25} ma \varphi (25) elementów rzędu 25 czyli 20
\ZZ_{5} ma 0 elementów rzędu 25

Czyli \ZZ_{625} ma 20 elementów rzędu 25 i jest cykliczna bo generowana przez jedynkę.
\ZZ_{125} \times \ZZ_5 ma 20 elementów rzędu 25 i nie jest cykliczna bo nie ma elementu rzędu 625.
\ZZ_{25} \times \ZZ_{5} \times \ZZ_{5} ma też 20 elementów rzędu 25 i też nie jest cykliczna bo nie ma elementu rzędu 625.
\ZZ_{25} \times \ZZ_{25} ma 20*25+5*20 elementów rzędu 25, więc nie spełnia warunków zadania.
\ZZ_{5} \times \ZZ_{5} \times \ZZ_{5} \times \ZZ_5 ma zero elementów rzędu 25 zatem też nie spełnia warunków zadania.

Czyli ogólnie mówiąc ta grupa nie jest cykliczna (choćby \ZZ_{125} \times \ZZ_5).

Tak jest ok?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 mar 2018, o 14:32 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2864
Lokalizacja: Radom
Nie. Jeżeli \ZZ_{125} ma 20 elementów rzędu 25, to \ZZ_{125} \times \ZZ_5 ma ich znacznie więcej
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 mar 2018, o 15:06 
Użytkownik

Posty: 1919
Lokalizacja: Kraków
Aha no dobra bo element rzędu 25 razy element rzędu 5 to też jest element rzędu 25. Czyli \ZZ_{125} \times \ZZ_5 ma 100 elementów rzędu 25.

To w takim razie \ZZ_{25} \times \ZZ_{5} \times \ZZ_{5} ma 500 elementów rzędu 25.

Czyli z tego by wynikało, że tylko \ZZ_{625} spełnia warunki zadania, a ta jest cykliczna czyli odpowiedź jest twierdząca. Tak?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Grupa przemienna - zadanie 4  princess691  7
 grupa przemienna - zadanie 2  anetaaneta1  1
 Grupa przemienna - zadanie 3  Anonymous  1
 Grupa przemienna - zadanie 5  max123321  11
 Grupa przemienna - zadanie 6  max123321  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl