szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 mar 2018, o 00:42 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Polska
Dzień dobry. Jestem w trakcie robienia zadań z granic ciągów. Dla podanych zadań wyszły mi wyniki następujące i nie jestem pewien czy są poprawne. A jeśli nie są, to chciałbym zobaczyć, jak poprawnie rozwiązuje się takie zadania.

a. \frac{ \sqrt{ n^{2} + 1 } + \sqrt{n} }{n - \sqrt{ n^{2} + 8 } } gdzie wyszło mi -\infty

b. \sqrt{2n + 4} - \sqrt{3n} gdzie wyszło mi \frac{ \infty }{ \infty }

c. \frac{ n^{2} \cdot \sin (n!) + 5n }{ n^{3} + 100 } gdzie wyszło mi 0

d. \left( \frac{n^{2} + 2n + 10}{n^{2} + 3} \right)^{ -n^{2} } gdzie wyszło mi e^{ \infty }

Z góry dziękuje za poświęcony czas i ewentualne rozwiązania + wskazówki!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 mar 2018, o 01:32 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13124
Lokalizacja: Wrocław
Ojej, ale co to ma być e^{\infty} albo \frac{\infty}{\infty}, wiesz w ogóle, co to jest granica ciągu? Jak nie, to weź np. książkę Krysickiego i Włodarskiego albo zajrzyj na wiki i tam masz w skrócie napisane.

a)
\lim_{n \to \infty}\frac{ \sqrt{ n^{2} + 1 } + \sqrt{n} }{n - \sqrt{ n^{2} + 8 } }=\\= \lim_{n \to \infty}\frac{ \left(\sqrt{n^{2} + 1} + \sqrt{n}\right)\left(n+\sqrt{n^2+8}\right)}{\left(n - \sqrt{ n^{2} + 8 }\right)\left(n+\sqrt{n^2+8}\right) }
i w mianowniku wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, wynik masz dobry.
b)
Zamiast sprzężenia zaproponuję coś takiego:
mamy \sqrt{2n+4}<\sqrt{\frac 9 4 n}=\frac 3 2\sqrt{n} dla n>16, a wówczas:
\sqrt{2n + 4} - \sqrt{3n}<\left( \frac 3 2-\sqrt{3}\right) \sqrt{n}
i ponieważ \frac 3 2-\sqrt{3} jest stałą mniejszą od zera oraz \lim_{n \to  \infty } \sqrt{n}=+\infty, więc \lim_{n \to  \infty } \left( \frac 3 2-\sqrt{3}\right) \sqrt{n}=-\infty i z twierdzenia o dwóch ciągach
\lim_{n \to  \infty }\left( \sqrt{2n + 4} - \sqrt{3n}\right)=-\infty


c) Dobrze Ci wyszło, sinus można ograniczyć z góry przez 1 oraz z dołu przez -1 i wystarczy skorzystać z tw. o trzech ciągach.

d) \lim_{n \to  \infty }\left( \frac{n^{2} + 2n + 10}{n^{2} + 3} \right)^{ -n^{2} }=0

Uzasadnienie:
\left( \frac{n^{2} + 2n + 10}{n^{2} + 3} \right)^{ -n^{2} }=\frac{1}{\left( \frac{n^{2} + 2n + 10}{n^{2} + 3} \right)^{ n^{2} }},
mamy natomiast
\left( \frac{n^{2} + 2n + 10}{n^{2} + 3} \right)^{ n^{2} }=\left(  \frac{(n^2+3)+(2n+7)}{n^2+3} \right)^{n^2}=\left( 1+ \frac{2n+7}{n^2+3} \right)
^{n^2} \ge  \left( 1+ \frac{2n}{4n^2} \right)
^{n^2}=\\=\left( 1+ \frac{1}{2n} \right)^{n^2}\ge 1+ \frac{n^2}{2n}=1+\frac n 2,
przy czym ta ostatnia nierówność wynika z nierówności Bernoulliego.
Zatem:
0<\left( \frac{n^{2} + 2n + 10}{n^{2} + 3} \right)^{ -n^{2} }\le \frac{1}{1+\frac n 2}
i z tw. o trzech ciągach otrzymujemy
\lim_{n \to  \infty } \left( \frac{n^{2} + 2n + 10}{n^{2} + 3} \right)^{ -n^{2} }=0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 mar 2018, o 01:33 
Moderator

Posty: 4300
Lokalizacja: Kraków PL
a), c) i d)dobrze

b)źle

Wyłącz \sqrt{x} przed nawias. Wychodzi -\infty .

Edit: 2018-03-18 01:42

W d) „zgubiłem” znak minus w wykładniku, więc Twój wynik jest zły. Ma być taki, jak podał Premislav.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 mar 2018, o 01:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13124
Lokalizacja: Wrocław
SlotaWoj, a więc twierdzi Pan, że
e^{\infty} to poprawne wyrażenie matematyczne?
Moim zdaniem d) nie tylko nie jest dobrze, wręcz tragicznie, bo autor wypowiedzi traktuje \infty jak jakąś liczbę (jeśli już wprowadzać takie dziwne działania w zbiorze \RR \cup\left\{ -\infty; +\infty\right\}, to i tak jest źle, gdyż
\left( \frac{n^{2} + 2n + 10}{n^{2} + 3} \right)^{ -n^{2} }<1 dla n=1,2, 3\ldots, a coś takiego, jak e^{\infty} raczej powinno być duże, a nie małe, czyż nie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 mar 2018, o 02:48 
Moderator

Posty: 4300
Lokalizacja: Kraków PL
@Premislav
Skoro wyrażenie 1^\infty pojawiające się w rachunku granic, jest nazywane wyrażeniem nieoznaczonym lub symbolem nieokreślonym ze względu na dane przejście graniczne zmiennej niezależnej i jest stosowane do oznaczania jednego z typów wyrażeń, których dookreślenie wymaga indywidualnego potraktowania, to jest to poprawne wyrażenie matematyczne.
W związku z tym pojawiające się w rachunku granic wyrażenie e^\infty również jest poprawne, z tym że jego dookreślenie nie wymaga już specjalnego traktowania i można napisać wprost, że \lim_{n\to\infty} ...=e^\infty=\infty .
Na podstawie: Poradnik inżyniera – Matematyka, część W. Żakowski; Rachunek różniczkowy i całkowy, rozdz. 2.2 Obliczanie granic, w tym uwagi po niektórych twierdzeniach: Twierdzenie pozostaje słuszne dla granic jednostronnych, dla granicy w nieskończoności oraz dla granic niewłaściwych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 mar 2018, o 03:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13124
Lokalizacja: Wrocław
Już kolejna osoba próbuje dyskutować o matematyce powołując się na poradnik inżyniera, tak przemija
Ale za często używam tego cytatu. Poradnik inżyniera (dotyczący matematyki, a nie np. wytrzymałości materiałów czy czegoś tam) jest pisany nie po to, żeby wprowadzać ścisłą terminologię matematyczną, tylko żeby pomóc adeptom nauk technicznych w zaliczeniu tej niespecjalnie potrzebnej matmy, którą mogą odwalić w Matlabie czy innym. Jest w pół drogi między książkami popularnonaukowymi a porządnymi książkami akademickimi. To nie jakiś zarzut, bo inny cel przyświecał jego napisaniu i wydaniu, natomiast to nie czyni zeń dobrego źródła w dyskusji dotyczącej terminologii matematycznej.

Jeśli już (nie lubię tego zapisu, ale jest poprawny), można napisać, że
\lim_{n \to \infty } \left( \frac{n^{2} + 2n + 10}{n^{2} + 3} \right)^{ -n^{2} }=\ldots={\red \bigg[}e^{-\infty}{\red \bigg]}=0
Zapis e^{\infty} sugeruje, że jest to wartość funkcji eksponencjalnej w punkcie \infty, ale nie ma takiego elementu zbioru \RR, jak \infty.


Chociaż w sumie nie mam siły dyskutować o takich bzdurach, niech będzie, że w ogóle nie mam racji. Tak, mylę się i tyle.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 mar 2018, o 04:55 
Moderator

Posty: 4300
Lokalizacja: Kraków PL
  1. Nie ulega wątpliwości, że Wojciech Żakowski był matematykiem z prawdziwego zdarzenia.
    Nie mam w tej chwili przy sobie: R. Leitner, Zarys matematyki wyższej, ale pewien jestem, że tam jest z zasadzie to samo, a to już nie jest Poradnik Inżyniera. To też nie pochodzi z portalu dla inzynierów: http://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5Einfinity .
  2. Premislaw napisał(a):
    {...} żeby pomóc adeptom nauk technicznych w zaliczeniu tej niespecjalnie potrzebnej matmy, którą mogą odwalić w Matlabie czy innym.
    Tu się nie zgadzam. Adeptom nauk technicznych matematyka jest bardzo potrzebna. Oni muszą pewne rzeczy zrozumieć, a Matlab może im jedynie pewne rzeczy obliczyć.
  3. Zadania polegały na obliczeniu granic, a nie na ocenie, który z zapisów rozwiązania jest bardziej lub mniej poprawny.
    Być może itemiak ma być inżynierem i musi tylko posiąść praktyczną umiejętność obliczania granic, aby zająć się ciągłością funkcji.
  4. Premislaw napisał(a):
    Zapis e^\infty sugeruje (...)
    co innego niż 1^\infty, ale w obu przypadkach nie ma takiego elementu zbioru \RR, jak \infty. Parę razy widziałem drugi z tych zapisów w publikacjach matematycznych, i to bez nawiasów – ponieważ ktoś to przepuścił, a oczywiste było, że dotyczy on rachunku granic, to będąc tylko inżynierem, nie czepiałbym się.
  5. Nie mylisz się, ale nie dopuszczasz, aby w sprawach mniej zasadniczych punkt widzenia mógł zależeć od miejsca siedzenia.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 mar 2018, o 05:07 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13124
Lokalizacja: Wrocław
ad 1.
Ależ ja tego nie neguję :!: Nie wiem, gdzie ja odmawiałem kompetencji panu Żakowskiemu. Po prostu inaczej pisze się do matematyka czy fizyka, a inaczej do adepta kierunku typowo inżynierskiego (i wcale mnie nie oburza ta różnica, ona powinna występować, bo nie każdy kierunek i nie każdy człowiek ma takie same potrzeby w kwestii matematyki, nawet nadmiar formalizmu w takiej pozycji mógłby zaciemniać obraz ). Po prostu nie jest to dobre źródło w dyskusji o poprawnym zapisie i tylko o to mi chodziło (dziwne, że nie uczyniłem tego wystarczająco jasnym), nie ma natomiast wątpliwości (w końcu ktoś to recenzował, a poza tym ta książka jest znana i często polecana), że nie znajdziemy tam błędnych wzorów, metod, itd. (a to one bardziej się liczą dla osób, które po taką pozycję sięgną).

Reszta – OK, nie spieram się już.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 mar 2018, o 07:23 
Moderator

Posty: 4300
Lokalizacja: Kraków PL
Rozwiązania Premislava są bardziej eleganckie, ale gdyby „iść na skróty”, to:

W a) dzieląc licznik i mianownik przez n doprowadzamy granicę do wyrażenia typu \frac{1}{0-} , która jest czytelna i granica równa się -\infty .

W b) wyłączenie \sqrt{n} doprowadza granicę do wyrażenia typu C\cdot\infty , gdzie C=\sqrt{2}-\sqrt{3}<0 i granica równa się -\infty .

W d) gdybyś (zapewne) nie „zgubił” minusa, tak jak ja, to doprowadziłbyś granicę do wyrażenia typu e^{-\infty} , która wynosi 0 .

W c) podzielenie licznika i mianownika przez n^2 sprowadza granicę do wyrażenia typu (!) \frac{v(n)}{\infty} , gdzie v(n)=\sin(n!)\in\left\langle-1;1\right\rangle i sugeruje zastosowanie twierdzenia o trzech ciągach; granica jest równa 0 .

Miej świadomość, że jeśli studiujesz matematykę, to takie skróty mogą być co najmniej „niemile widziane” i wówczas Twoje rozwiązanie musi być równie eleganckie, co Premislava.

Edit: 2018-03-18 10:33

(!) Tu był „potworek” (czytaj następny post), który zastąpiłem czymś sensowniejszym.
Zastąpiłem też słowa „postaci” przez „wyrażenia”.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 mar 2018, o 08:39 
Użytkownik

Posty: 15805
Lokalizacja: Bydgoszcz
SlotaWoj napisał(a):
@Premislav
Skoro wyrażenie 1^\infty pojawiające się w rachunku granic, jest nazywane wyrażeniem nieoznaczonym lub symbolem nieokreślonym ze względu na dane przejście graniczne zmiennej niezależnej i jest stosowane do oznaczania jednego z typów wyrażeń, których dookreślenie wymaga indywidualnego potraktowania, to jest to poprawne wyrażenie matematyczne.
W związku z tym pojawiające się w rachunku granic wyrażenie e^\infty również jest poprawne, z tym że jego dookreślenie nie wymaga już specjalnego traktowania i można napisać wprost, że \lim_{n\to\infty} ...=e^\infty=\infty .
Na podstawie: Poradnik inżyniera – Matematyka, część W. Żakowski; Rachunek różniczkowy i całkowy, rozdz. 2.2 Obliczanie granic, w tym uwagi po niektórych twierdzeniach: Twierdzenie pozostaje słuszne dla granic jednostronnych, dla granicy w nieskończoności oraz dla granic niewłaściwych.

To nie jest "poprawne wyrażenia matematyczne". Zapis \lim_{n\to\infty} a_n=\infty jest jedynie symbolicznym zapisem zdania mówiącego, że wyrazy ciągu a_n dążą do nieskończoności. Nie definiuje się zapisów typu \lim_{n\to\infty} a_n=e^\infty czy \lim_{n\to\infty} a_n=\frac{1}{\infty}

Zapis użyty przez Żakowskiego to konwencja dotycząca postaci wyrażenia granicznego, z której wynika istnienie granicy nieoznaczonej.

Podobnie tu: niepoprawnym, lecz sugestywnym zapisem jest \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=\frac{1}{\infty}=0, natomiast pozostawienie rozwiązania w postaci \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=\frac{1}{\infty} należy uznać za błąd.

Jeżeli tak się nie przyjmie, to musiałbyś uznać za poprawny zapis \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=e^{-\infty} - a to już nie ma kompletnie sensu.

Dlatego wyrażenia postaci a^{\infty}, \frac{1}{-0} nie liczbami, i używa się ich do objaśnienia ale nigdy jako wynik operacji.

Niestety potworek, który popełniłeś parę postów niżej:

\frac{-1<\sin(.)<1}{\infty}

też ma mało sensu...

-- 18 mar 2018, o 08:43 --

itemiak napisał(a):
Dzień dobry. Jestem w trakcie robienia zadań z granic ciągów. Dla podanych zadań wyszły mi wyniki następujące i nie jestem pewien czy są poprawne.
Z góry dziękuje za poświęcony czas i ewentualne rozwiązania + wskazówki!

Z faktu, że wynik jest poprawny nie wynika, że rozwiązanie jest poprawne.

Np.

\frac{16}{64}=\frac{1}{4}

Wynik jest poprawny, ale jeżeli uzyskałeś go "skracając" szóstki, to rozwiązanie nie jest poprawne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 mar 2018, o 11:08 
Moderator

Posty: 4300
Lokalizacja: Kraków PL
Dziękuję a4karo za udział w dyskusji.
a4karo napisał(a):
Zapis użyty przez Żakowskiego to konwencja dotycząca postaci wyrażenia granicznego, z której ...
(za Żakowskim) ... może wynikać konieczność indywidualnego postępowania.

Dlatego w ostatnim poście unikałem wplatania symboli wyrażeń nieoznaczonych we wzory i pisałem o „wyrażeniach typu”.

Zgoda co do „potworka”; już go wyeliminowałem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 mar 2018, o 11:34 
Użytkownik

Posty: 15805
Lokalizacja: Bydgoszcz
SlotaWoj napisał(a):
W c) podzielenie licznika i mianownika przez n^2 sprowadza granicę do wyrażenia typu (!) \frac{v(n)}{\infty} , gdzie v(n)=\sin(n!)\in\left\langle-1;1\right\rangle i sugeruje zastosowanie twierdzenia o trzech ciągach; granica jest równa 0 .

To niestety jet kompletnie niespójne: nie da się nawet w zapisie symbolicznym przejść do granicy w jednym kawałku, a w innym nie, podobnie jak przy liczeniu granicy nie można "zapomnieć o kawałku wyrażenia".

Wprowadzono pewne formalizmy typu O(n^2), czy o(n) i działania na nich są dość sformalizowane, ale na to chyba za wcześnie na tym poziomie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granica ciągu z pierwiastkami  ChipiDay  4
 Granica ciągu z pierwiastkami - zadanie 2  Anonymous  1
 Granica ciągu z pierwiastkami - zadanie 3  Żelazny  7
 granica ciągu z pierwiastkami - zadanie 4  _Mithrandir  2
 Granica ciągu z pierwiastkami - zadanie 6  Noqa  14
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl