szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 mar 2018, o 20:59 
Użytkownik

Posty: 30
Lokalizacja: Lubelskie
Witam, mam za zadanie rozwinąć funkcję f(x) = \sqrt{1+x^2} = (1+x^2)^{1/2}

Oczywiście to zadanie można zrobić, korzystając z ogólnego wzoru na (1+x^2)^\alpha, jednak chciałem dla tego przykładu samemu spróbować to wyprowadzić.

Zgodnie ze wzorem taylora mamy:
f(x)=f(0)+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
No więc zacząłem liczyć pochodne.
f^{(1)}(x) = \frac{1}{2}*(1+x^2)^{\frac{-1}{2}} * 2x = x(1+x^2)^{\frac{-1}{2}}, f^{(1)}(0) = 0
f^{(2)}(x) = x\frac{-1}{2}*(1+x^2)^{\frac{-3}{2}} * 2x = -x^2(1+x^2)^{\frac{-3}{2}}}, f^{(2)}(0) = 0
Jak można zauważyć, f^{(n)}(0) = 0

Tylko że podstawiając to do wzoru otrzymujemy, że
\sqrt{1+x^2} = 1 + \frac{0}{1!}*x + \frac{0}{2!}*x^2 + ... co nam daje \sqrt{1+x^2} = 1
Gdzie popełniam błąd?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 mar 2018, o 21:00 
Gość Specjalny

Posty: 5802
Lokalizacja: Toruń
Pomyliłeś się licząc pochodne -- wzór na pochodną iloczynu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 mar 2018, o 21:05 
Użytkownik

Posty: 30
Lokalizacja: Lubelskie
Gdzie konkretnie? Bo nie mogę zauważyć tego błędu. Korzystałem ze wzoru na pochodną funkcji złożonej
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 mar 2018, o 21:06 
Gość Specjalny

Posty: 5802
Lokalizacja: Toruń
Gdy liczysz drugą pochodną. Pierwsza pochodna jest iloczynem dwóch funkcji.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 mar 2018, o 21:07 
Użytkownik

Posty: 30
Lokalizacja: Lubelskie
Bardzo dziękuję! :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Szereg Maclaurina - zadanie 69  tupttus  2
 Szereg Fouriera - zadanie 2  Delvier  2
 Wyznacz funkcję graniczną ciągu funkcyjnego  MalaMi717  13
 Rozwinąć w szereg Fouriera i obliczyć sumę  kylercopeland  7
 Trygonometryczny Szereg Fouriera - sprawdzenie  Antos  14
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl