szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 mar 2018, o 23:13 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Polska
Cześć,

Czy ktoś wie, jak obliczyć masowy moment bezwładności względem osi z, dla figury przedstawionej na rysunku?
Obrazek
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 mar 2018, o 00:24 
Użytkownik

Posty: 5686
Lokalizacja: Staszów
Jak biegunowy moment bezwładności tego trójkąta względem bieguna w wierzchołku z kątem prostym i gęstości zet razy większej niż 1. Tak jakby bryła była złożona z zet płaskich trójkątów o grubości równej jednostce.
Wzory są pod hasłem "moment bezwładności".
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 mar 2018, o 22:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2096
Lokalizacja: Nowy Targ
Obrazek

1. Moment bezwładności trójkąta - płytki trójkątnej wzgl. osi x i y z pominięciem rachunku całkowego.
Dopełniamy trójkąt do prostokąta. Moment bezwładności jednego trójkąta jest równy połowie momentu bezwładności prostokąta.
1.1. Moment bezwładności prostokąta wzgl. osi x _{1}, patrz rys.3.
I _{x _{1} p} =2 \cdot m \frac{a ^{2} }{12},
Stąd moment bezwładnosci trójkąta wzgl. tej samej osi jest równy;
I _{x _{1tr}   }= m \frac{a ^{2} }{12}
1.2. Moment bezwładności trójkąta wzgl osi środkowej- x _{c}
I _{xc}=m \frac{a ^{2} }{12}-m( \frac{a}{6}) ^{2}=m \frac{a ^{2} }{18}
Zastosowano tw.Steinera, odległość między osiami x _{1}, x _{c} jest równa - a/6 .
1.3.Moment bezwładności trójkąta wzgl.osi x
I _{x}=I _{xc} +m( \frac{1}{3}) ^{2} =m \frac{a ^{2} }{18}+m \frac{a ^{2} }{9}=m \cdot  \frac{a ^{2} }{6}
1.2. Przez analogię obl. moment wzgl. osi y:
I _{y}=m \cdot  \frac{b ^{2} }{6}
1.3. Szukany moment bezwładności trójkąta o masie m wzgl. osi z;
I _{z}=I _{x}+I _{y} =m \frac{a ^{2} +b ^{2} }{6}
....................................................................
2. Moment bezwładności trójkąta cieńkościennego o masie m wzgl osi x, w oparciu o jego def. i przy zastosowaniu -r. całkowego;

2.1. Dzielimy trójkąt na elementy rownoległe do osi x(" plasterkujemy")- patrz rys.2, i z def momentu mamy zależność
I _{x}=\int\limits_{0}^{a}  y ^{2}dm, (1)
Określenie elementarnej masy dm o jednakowej grubości- masa rozłożona równomiernie na całej powierzchni trójkąta z zależności;
\frac{dm}{m}= \frac{dS}{S}  \Rightarrow dm= \frac{m \cdot dS}{S}= \frac{2m \cdot dS}{b \cdot a}
Gdzie pole trójkąta S
S= \frac{b \cdot a}{2}
Teraz mamy wyrażenie pod całką;
I _{x}=\int\limits_{0}^{a}  y ^{2}   \frac{2m dS}{ba}= \frac{2m}{ba}\int\limits_{0}^{a}  y ^{2}dS= \frac{2m}{ba}\int\limits_{0}^{a}  y ^{2}  \cdot u \cdot  dy= \frac{2m}{ab}\int\limits_{0}^{a}  y ^{2}   \frac{b(a-y)}{a}  dy= \frac{2m \cdot b}{ab \cdot a}\int\limits_{0}^{a} (a y ^{2}-y ^{3})dy= \frac{2m}{a ^{2}}\left[ a \cdot  \frac{y ^{3} }{3} - \frac{y ^{4} }{4} \right] ^{a}  _{0}= \frac{m \cdot a ^{2} }{6}
Gdzie:
Elementarna powierzchnia- patrz rys.
dS=u \cdot dy
Obliczenie długości u z podobieństwa trójkątów- rys.;
\frac{u}{b}= \frac{a-y}{a}  \Rightarrow u= \frac{b(a-y)}{a}
..................................................................
3.Postępując podobnie, obl moment wzgl. osi y.
4. Poszukiwany moment wzgl. osi z, wyznaczamy zależności;
I _{z}=I _{x}+I _{y}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2018, o 11:01 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Polska
Dzięki
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 moment bezwładności - zadanie 56  lukaszek1234567890  2
 Mechanika płynów - moment zginający  StudentIB  3
 Moment- statyka, tw. Varignona  FE23  7
 Geometryczne momenty bezwładności  Matix16  1
 Moment pędu satelity  Progman  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl