szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2018, o 21:16 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Polska
Witam, jak zbadać jednostajną zbieżność na zbiorze X=[0,\infty)
następującego ciągu:

\sum_{n=0}^{\infty} \frac {x^2}{e^{n^2x}}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2018, o 21:33 
Użytkownik

Posty: 12037
Zauważmy, że dla dowolnego t>0 zachodzi nierówność
e^t>\frac{t^2}{2}, dowód pozostawiam jako ćwiczenie. Otrzymujemy zatem dla x>0:
\frac{x^2}{e^{n^2 x}}\le \frac{2x^2}{(n^2 x)^2} = \frac{2}{n^4}, zaś szereg
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2}{n^4} jest zbieżny. Poza tym nierówność
\frac{x^2}{e^{n^2 x}} \le \frac{2}{n^4}, \ n=1,2\ldots zachodzi również dla x=0.
Zatem spełnione są założenia kryterium Weierstrassa.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2018, o 21:39 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Polska
Bardzo dziękuję za odpowiedź. Jednak zastawiam się, czy nic nie zmienia fakt, że zaczynamy sumować od n=0?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2018, o 21:54 
Użytkownik

Posty: 12037
Uuu, jednak to faktycznie wymaga co najmniej komentarza. Szczerze powiedziawszy nie zauważyłem tego. :(

Zapiszmy w takim razie
\sum_{n=0}^{\infty} \frac {x^2}{e^{n^2x}}=x^2+\sum_{n=1}^{\infty} \frac {x^2}{e^{n^2x}}
Szereg
\sum_{n=1}^{\infty} \frac {x^2}{e^{n^2x}} jest jednostajnie zbieżny w [0,+\infty) – szkic uzasadnienia podałem powyżej. Oznaczmy przez g(x) jego sumę. Wówczas twierdzę, że \sum_{n=0}^{\infty} \frac {x^2}{e^{n^2x}} jest jednostajnie zbieżny do x^2+g(x) w zbiorze X=[0,+\infty).
Patrz definicja jednostajnej zbieżności (jednostajna zbieżność szeregu funkcyjnego to jednostajna zbieżność ciągu funkcyjnego złożonego z sum częściowych):
chcemy, by
\lim_{N \to  \infty } \sup_{x\ge 0}\left| g(x)+x^2-\sum_{n=0}^{N} \frac {x^2}{e^{n^2x}}\right|=0
a to jest dokładnie wtedy, gdy
\lim_{N \to  \infty } \sup_{x\ge 0}\left| g(x)-\sum_{n=1}^{N} \frac {x^2}{e^{n^2x}}\right|=0
a to mamy, bo wywnioskowaliśmy jednostajną zbieżność \sum_{n=1}^{\infty} \frac {x^2}{e^{n^2x}}.
Ogólnie skończenie wiele (dobrze określonych oczywiście) wyrazów nie wpływa na zbieżność.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 jednostajna zbieżność - zadanie 2  kolegasafeta  0
 Jednostajna zbieżność - zadanie 5  Kanodelo  0
 Jednostajna zbieżność - zadanie 6  wiwnes691  4
 Jednostajna zbieżność - zadanie 3  Matm  7
 jednostajna zbieżność  pasjonat  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl