szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 mar 2018, o 12:16 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: szczecin
Zad: Wyznaczyć promień zbieżności, przedział zbieżności oraz sumę szeregu.

\sum_{n=0 }^{ \infty } \frac{n+2}{ 4^{n} }x ^{n}

Liczę promień zbieżności:

\frac{1}{R} = \lim_{ n\to \infty } \frac{(n+1)+2}{4 ^{n+1} } \cdot \frac{4 ^{n} }{n+2}= \frac{1}{4}

Czyli promień R=4 .

Jako że środek x_{0}=0 , to przedział należy od (-4;4) .
Sprawdzę jeszcze, czy jest w punktach -4 i 4 .

Dla 4 mamy \sum_{n=0 }^{ \infty } \frac{n+2}{ 4^{n} }4 ^{n}\ \Leftarrow szereg rozbieżny.
Dla -4 mamy \sum_{n=0 }^{ \infty } \frac{n+2}{ 4^{n} }(-4) ^{n}\ \Leftarrow szereg rozbieżny.

Czyli przedział zbieżności należy (-4;4) .

Mam promień i przedział zbieżności, czyli już prawie cale zadanie, ale nie wiem jak obliczyć tutaj sumę tego szeregu. Proszę o pomoc. (:
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 mar 2018, o 12:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1302
Lokalizacja: hrubielowo
Zapisz to tak

\sum_{n=0 }^{ \infty } \frac{n+2}{ 4^{n} }x ^{n}= \sum_{n=0}^{ \infty }n\left(  \frac{x}{4} \right)^n+2 \sum_{n=0}^{ \infty }\left(  \frac{x}{4} \right)^n

drugi z tych szeregów to zwykły szereg geometryczny. Pierwszy jest trochę bardziej skomplikowany choć wciąż prosty do policzenia. Zapisz wzór na \sum_{n=0}^{ \infty }t^n i zróżniczkuj stronami by wyprowadzić ogólną zależność.

-- 31 mar 2018, o 12:56 --

Chodzi o coś takiego:
\sum_{n=0}^{ \infty } n t^n= t \cdot  \sum_{n=0}^{ \infty }  \frac{ \mbox{d} t^n}{ \mbox{d}t }=t \cdot  \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}t} \left(  \sum_{n=0}^{ \infty } t^n\right)=...

na koniec podstawiasz t:= \frac{x}{4} i koniec
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 mar 2018, o 16:40 
Użytkownik

Posty: 767
Lokalizacja: Polska
Można też tak:
\sum_{n=1}^{ \infty } nq^n = \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=k}^{\infty}q^n

Czyli masz po prostu sumę szeregów geometrycznych, a to już raczej łatwo policzyć (używasz tam wzoru na sumę szeregu geometrycznego i dostajesz kolejny szereg geometryczny). :P
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 suma szeregu potegowego  miami_vice  2
 Suma szeregu potęgowego  pitterb  2
 suma szeregu potęgowego - zadanie 2  zuababa  2
 Suma szeregu potęgowego - zadanie 3  natalia2007  3
 Suma szeregu potęgowego - zadanie 4  piotrek2008  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl