szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 mar 2018, o 12:48 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: szczecin
Nie wiem w ogóle jak się liczy sumę szeregów potęgowych, nigdzie w necie też nie widzę, żeby to było gdzieś opisane. Proszę o pokazanie na tym przykładzie jak to się robi.

\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{2 ^{n} }{5 ^{n}(n+1) }x ^{n}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 mar 2018, o 13:07 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1472
Lokalizacja: hrubielowo
Nie ma ogólnej reguły liczenia sum szeregów nawet potęgowych. Trzeba trochę pokombinować i powołać się na twierdzenia o różniczkowaniu i całkowaniu szeregów potęgowych na promieniu zbieżności.

\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{2 ^{n} }{5 ^{n}(n+1) }x ^{n}
=\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{t^n}{n+1 }=(*)

gdy t= \frac{2x}{5}. Teraz można zapisać to jako całkę

(*)=\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{t^n}{n+1 }=  \frac{1}{t}  \cdot \sum_{n=0}^{ \infty }  \int_{0}^{t} \xi^n \mbox{d}\xi=\frac{1}{t}  \cdot  \int_{0}^{t}\sum_{n=0}^{ \infty }  \xi^n \mbox{d}\xi= \\ \\  \frac{1}{t}  \cdot  \int_{0}^{t} \frac{1}{1-\xi}  \mbox{d}\xi= -\frac{\ln\left| 1-t\right| }{t}

Więc wracając z podstawieniem mamy

\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{2 ^{n} }{5 ^{n}(n+1) }x ^{n}
=- \frac{\ln \left| 1-\frac{2x}{5}\right| }{\frac{2x}{5}}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbadaj zbieżność szeregu...  mm34639  3
 x0 w obliczaniu zbieznosci szeregu potegowego  Naiya  2
 Zbieznosc szeregu potegowego  haxo  5
 Zbieznosc szeregu funkcyjnego  Gnomek  0
 Zbieżność jednostajna szeregu  kej.ef  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl