szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 kwi 2018, o 20:36 
Użytkownik

Posty: 1586
Lokalizacja: Sosnowiec
Niech (X,<) będzie zbiorem dobrze uporządkowanym oraz x_0\in X. Udowodnić, że zbiory X oraz X_0:=\{x\in X: x<x_0\} nie są izomorficzne.

Wydaje się, że trywialna własność, ale nie udało mi się tego pokazać. Zauważyłem, że założenie o dobrym uporządkowaniu jest istotne, bo gdyby założyć tylko liniowe uporządkowanie, to kontrprzykładem jest \{0,-1,-2,\ldots\}, x_0=0, \xi(x)=x-1, gdzie \xi to izomorfizm.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 kwi 2018, o 20:46 
Administrator

Posty: 22914
Lokalizacja: Wrocław
Przypuszczamy nie wprost, że istnieje izomorfizm f:X\to X_0. Rozważmy zbiór A=\{x\in X:f(x)<x\}. Ponieważ f(x_0)<x_0 (z definicji X_0), więc x_0\in A, czyli A jest niepusty. Niech a będzie najmniejszym elementem zbioru A. Wtedy f(a)<a i z tego, że f jest izomorfizmem wnioskujemy, że f(f(a))<f(a). Ale to oznacza, że f(a) należy do A i jest mniejszy od elementu najmniejszego - sprzeczność.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Przykład rodziny zbiorów  KasienkaG  5
 Udowodnij dla dowolnych zbiorów - zadanie 2  Dario1  16
 Wyznaczyć sumę i iloczyn mnogościowy dla rodzin zbiorów  Wujaszek  1
 Dowód dla indeksowanej rodziny zbiorów.  apprentice  5
 Własności zbiorów, przekrój i suma  blackbird936  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl