szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 kwi 2018, o 19:01 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Kraków
Z góry przepraszam, jeśli źle trafiłam w miejsce zamieszczenia tematu ale jestem tu nowa.

Mam problem z zadaniem gdzie muszę policzyć granicę ciągu podanego wzorem gdzie występuje ułamek i w liczniku jest suma/różnica, gdzie występuje w wykładniku potęgi "n" , a w mianowniku zwykły wielomian.

Przykład

\frac{2^n-1}{n^3+7n}

Przepraszam za jakość tego "ułamka", ale program pokazuje mi błąd w formule ...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 kwi 2018, o 19:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 243
Lokalizacja: Płock/Warszawa
Na oko widać, że granica wyniesie +\infty. Wynika to z tego, że funkcja wykładnicza (licznik) rośnie „szybciej” niż wielomian (mianownik). By to formalnie uzasadnić, proponuję skorzystać z twierdzenia o dwóch ciągach.

Pierwsza myśl jest taka, żeby oszacować ten ciąg z dołu przez \frac{n^4-1}{n^3+7n}. Posłuży do tego nierówność n^4\ < 2^n zachodząca dla naturalnych n większych od 16. Możesz udowodnić ją indukcyjnie.

Wtedy ponieważ \frac{n^4-1}{n^3+7n} < \frac{2^n-1}{n^3+7n} dla liczb naturalnych n>16 oraz \lim_{ n\to +\infty} \frac{n^4-1}{n^3+7n} = +\infty, to na mocy twierdzenia o dwóch ciągach mamy \lim_{ n\to +\infty} \frac{2^n-1}{n^3+7n}=+\infty.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 kwi 2018, o 22:17 
Użytkownik

Posty: 2280
Lokalizacja: Warszawa
\lim_{x\to\infty} \frac{2^x}{x^3+7x}=\infty (3 razy reguła de l'Hospitala)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 kwi 2018, o 22:51 
Administrator

Posty: 22880
Lokalizacja: Wrocław
Jak zastosujesz regułę de l'Hospitala do ciągu bez żadnego komentarza, to może być kłopot.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznaczanie wzoru na ogólny wyraz ciągu.  metamatyk  9
 Badanie monotoniczności ciągu.  Anonymous  2
 Zbadaj monotoniczność ciągu - zadanie 69  Anonymous  2
 Wzór na wyraz ogólny ciągu Fibbonaci'ego  metamatyk  2
 Oblicz granicę ciagu  :)  4
cron
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl