szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 kwi 2018, o 20:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 97
Lokalizacja: Polska
Witam, sprawdzi ktoś moje zadanko? Szczególnie moją argumentację (to często u mnie kuleje)?
Zadanie: w trójwymiarowej przestrzeni danych jest n punktów, z których żadne 4 nie leżą na jednej płaszczyźnie. Ile jest prostych i ile płaszczyzn wyznaczają te punkty?

Od razu nasuwa się, że:
-dwa punkty możemy wybrać na {n\choose 2} sposobów i dwa punkty wyznaczają prostą;
-trzy punkty na {n\choose 3} sposobów i trzy punkty wyznaczają płaszczyznę (o ile nie są współliniowe).

No i nie było wcale dla mnie oczywiste w pierwszej chwili czy z założeń wynika, że np. żadne 3 punkty nie są współliniowe i nie trzeba czegoś odjąć aby nie liczyć dwa razy tego samego :< (głupi jestem czy uważny? :oops: ) Napisałem sobie tak:

Gdyby dowolne 3 punkty były współliniowe, to każdy czwarty punkt niewspółliniowy wyznaczałby razem z nimi płaszczyznę i wszystkie te cztery punkty leżałyby razem na niej wbrew założeniu. Ok?
Stąd jest, że każde trzy punkty są niewspółliniowe, czyli dowolna para, którą możemy wybrać na {n\choose 2} sposobów wyznacza jednoznacznie prostą.
Mamy również, że każde 3 punkty są niewspółliniowe, stąd wyznaczają jednoznacznie płaszczyznę - zatem jest {n\choose 3} płaszczyzn.

W sumie wątpliwości wynikły raczej z elementarną geometrią :< niż z kombinatoryką, ale zadanie z kombinatoryki... Jakby coś to proszę przenieść temat.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 kwi 2018, o 21:38 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 307
Lokalizacja: Podkarpacie
Ja bym się zgodził z Tobą całkowicie
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 kwi 2018, o 22:38 
Użytkownik

Posty: 1536
Lokalizacja: Sosnowiec
Według mnie powinno być założenie n\ge 4.

Zaratustra napisał(a):
Gdyby dowolne 3 punkty były współliniowe, to każdy czwarty punkt niewspółliniowy wyznaczałby razem z nimi płaszczyznę i wszystkie te cztery punkty leżałyby razem na niej wbrew założeniu. Ok?

Ja bym w tym miejscu poczynił założenie: "Gdyby wśród wybranych punktów istniały 3 parami różne punkty współliniowe". I dalej można jeszcze rozpisać to bardziej dokładnie: Oznaczmy nasze punkty przez A,B,C. Ponieważ n\ge 4, istnieje punkt D różny od A,B,C, który należy do zbioru wybranych punktów. Z założenia A,B,C,D są niewspółpłaszczyznowe i na mocy lematu A,B,C są niewspółliniowe. Sprzeczność.

Lemat. Jeśli 4 (różne) punkty są niewspółpłaszczyznowe, to dowolne 3 z nich są niewspółliniowe.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 kwi 2018, o 15:20 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 97
Lokalizacja: Polska
matmatmm napisał(a):
Według mnie powinno być założenie n\ge 4.
Ja bym w tym miejscu poczynił założenie: "Gdyby wśród wybranych punktów istniały 3 parami różne punkty współliniowe". I dalej można jeszcze rozpisać to bardziej dokładnie: [...]
Lemat. Jeśli 4 (różne) punkty są niewspółpłaszczyznowe, to dowolne 3 z nich są niewspółliniowe.

Faktycznie, założenie nie mówi, że jest ich co najmniej cztery - bo byłoby spełnione dla mniej niż czterech. Dzięki szczególnie za tę uwagę ;] W lemat też zgrabne ujęcie :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 kombinatoryka, n kostek  prawyakapit  3
 Kombinatoryka - Trywialne zadana - zadanie 2  minka94  1
 Kombinatoryka- zadania  fuckchelsea0  1
 kombinatoryka zadania - zadanie 7  error93  4
 Kombinatoryka - hasło do konta  Matemorron  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl