szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 kwi 2018, o 23:05 
Użytkownik

Posty: 35
Lokalizacja: Warszawa
Witam serdecznie,

Na jednym z wykładów otrzymałem polecenie udowodnienia, że lewa część płaszczyzny zespolonej w dziedzinie S przekształca się wzajemnie jednoznacznie w okrąg jednostkowy ze środkiem w (0,0) w dziedzinie Z. Przeprowadziłem pewne rozumowanie, ale nie jestem pewien, czy można uznać je za pełen dowód; czy moglibyście pomóc mi i powiedzieć, czy to wystarczająca motywacja?

Otóż myślałem tak: jeżeli uznamy, że przekształceniem wykorzystywanym w celu przejścia z dziedziny S w Z będzie:

z=e^{sh},

gdzie h będzie okresem próbkowania, to:

z=e^{(\delta+j\omega)h}.

A ze wzoru de Moivre'a:

e^{(\delta+j\omega)h}=e^{h\delta}(\cos (h\omega)+j\sin (h\omega))

wnioskujemy, że skoro rozmawiamy o układach stabilnych (ergo lewej półpłaszczyźnie zespolonej S, charakteryzującą się ujemną \delta), to wartość e^{h\delta} zawsze będzie mniejsza od lub równa 1 (promień równy 1). Z kolei postać trygonometryczna liczby zespolonej implikuje położenie danego punktu w lub na okręgu o środku w (0;0) w płaszczyźnie Z.

Czy można uznać takie rozumowanie za dowód? Mam co do tego wątpliwości i dlatego piszę. Ponadto, mam jeszcze drugie pytanie: tak wygląda przedstawienie, gdy wykorzystuję podstawienie:

z=e^{sh}

--- Co natomiast z innymi możliwymi transformacjami? Jak np. zrozumieć przekształcenie biliniowe:

z= \frac{2+hs}{2-hs}

?

Serdecznie dziękuję za wszelką pomoc!
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 kwi 2018, o 07:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1995
Lokalizacja: hrubielowo
Zerknij na metode Tustina wyjaśnia ona skąd się bierze przekształcenie bilinowe z= \frac{2+hs}{2-hs}. Poza tym raczej skupił bym się na mapowaniu osi zespolonej na okrąg jednostkowy co faktycznie załatwi przekształcenie z=e^{sh}. Nie wiem czy będzie Ci to potrzebne ale wprowadza się też rozgraniczenie w nazewnictwa punktów. Układy stabilne to takie które mają bieguny \left( \forall k\right) \ \left| z_k\right|<1 a asymptotycznie stabilne \left( \exists k\right) \left| z_k\right|=1.

-- 7 kwi 2018, o 08:10 --

Co to dowodu to wydaje mi się że wystarczy, nie wiem jak bardzo prowadzący wymaga formalizmów ale takie rozumowanie pokazuje intuicyjnie dlaczego taka transformata ma sens.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 kwi 2018, o 07:38 
Użytkownik

Posty: 16330
Lokalizacja: Bydgoszcz
Lewa część płaszczyzny w okrąg?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 kwi 2018, o 13:15 
Użytkownik

Posty: 35
Lokalizacja: Warszawa
a4karo,

Tak, chodzi mi o tę część płaszczyzny, która opisywana jest przez ujemną część rzeczywistą liczb zespolonych: \Re{z}<0. Jak rozumiem oś urojona w płaszczyźnie S odpowiada granicy okręgu w płaszczyźnie Z? Jedna i druga wyznacza granicę między układami niestabilnymi i stabilnymi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 kwi 2018, o 15:01 
Użytkownik

Posty: 16330
Lokalizacja: Bydgoszcz
Płaszczyzna jest dwuwymiarowa, okrąg - jedno. Słabo się jedno w drugie przeprowadza 1-1 bardzo regularnym odwzorowaniem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 kwi 2018, o 15:37 
Użytkownik

Posty: 35
Lokalizacja: Warszawa
Koło zatem?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 kwi 2018, o 20:27 
Użytkownik

Posty: 57
Lokalizacja: Stęszew
A nie lepiej przeprowadzić górną półpłaszczyznę w koło jednostkowe? - czyli takie z\in\mathbb{C}, że \Im{z} > 0

To przekształcenie banalnie się uzyskuje z pewnej obserwacji :)

Co do Twojego problemu zauważ, że Twój problem to rotacja o \frac{\pi}{2} wyżej wymienionego problemu przeze mnie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja holomorficzna, dowód  Montes  3
 Homografia przeprowadzająca okrąg w okrąg. - zadanie 2  sierpienny  5
 Dowód twierdzenia Bolzana-Weierstrassa dla l.zespolonych  primax  7
 Dowód wzoru de Moivre'a z wykorzystaniem wzoru Eulera  Hendra  4
 Dowód równoważności dla obszaru jednospójnego  Natalia13  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl