szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 kwi 2018, o 23:16 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: Kraków
Witam, zadane mam obliczyć, jak w temacie zbieżność punktową i jednostajną szeregu funkcyjnego \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ x^{2} }{\left( 1+ x^{2} \right) ^{n}  } przez potęgę w mianowniku niezbyt wiedziałem jak to oszacować, więc postanowiłem to zrobić sposobem z pochodną, jednak po wyliczeniu pierwiastków x=0 ,  x= \sqrt{ \frac{1}{n-1} } ,  x= -\sqrt{ \frac{1}{n-1} } i podstawieniu dwóch ostatnich doszedłem do sytuacji \frac{\frac{1}{n-1}} \left( { \frac{n}{n-1}\right)^{n} } zbytnio nie wiem co z tym dalej robić. Z góry dziękuję za pomoc
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2018, o 13:21 
Użytkownik

Posty: 3012
Zauważmy, że \left|\frac{x^2}{x^2+1}\right| < 1 , \ \  x\in \RR.

oraz

\lim_{n\to \infty} \frac{x^2}{(x^2 + 1)^{n}} = 0

Niech

d_{n} = \sup _{-\infty < x < \infty}|f_{n} - f(x)|

Jak obliczyłeś funkcje f_{n} o wartościach dodatnich w \RR osiągają swoje kresy górne w punktach x'_{n} = -\sqrt{\frac{1}{n-1}}, \ \ x''_{n} = \sqrt{\frac{1}{n-1}}.

oraz

\lim_{n\to \infty} d_{n}=\lim_{n\to \infty} f_{n}(x'_{n}) = \lim_{n\to \infty} f_{n}(x''_{n})=\lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{n-1}\cdot \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{n-1}\right)^{n}}\right)=0\cdot\frac{1}{e}=\\ = 0.

Jaki stąd wniosek?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2018, o 13:32 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: Kraków
Czyli z tego wynika, że w punkcie 0 mam wartość największą? A potem podstawiam za x i staram się to szacować?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2018, o 14:17 
Użytkownik

Posty: 3012
Nie, w punkcie x = 0 występuje wartość najmniejsza tych funkcji - równa zeru.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2018, o 14:33 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: Kraków
Skoro d jest równa 0 tzn. ,że będzie jednostajnie zbieżny, z czego wynika że będzie również punktowo zbieżny
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2018, o 14:55 
Użytkownik

Posty: 3012
Tak, bo zbieżność jednostajna f_{n} \rightrightarrows  f(x) jest równoważna temu, że odległość:

d(f_{n}, f) = \parallel f_{n} - f \parallel _{\infty} \rightarrow 0, dla n\rightarrow \infty.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2018, o 15:00 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: Kraków
dziękuję za pomoc i cierpliwość
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbieżność punktowa i jednostajna szeregu  zeegy1  2
 Zbieżność punktowa i jednostajna szeregu - zadanie 2  realityoppa  1
 Zbieżność punktowa  Kanodelo  1
 Obszar zbieżności szeregu zespolonego  apacz3  7
 Określenie zbieżności szeregu - zadanie 2  adi3  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl