szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 kwi 2018, o 23:16 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Kraków
Witam, zadane mam obliczyć, jak w temacie zbieżność punktową i jednostajną szeregu funkcyjnego \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ x^{2} }{\left( 1+ x^{2} \right) ^{n}  } przez potęgę w mianowniku niezbyt wiedziałem jak to oszacować, więc postanowiłem to zrobić sposobem z pochodną, jednak po wyliczeniu pierwiastków x=0 ,  x= \sqrt{ \frac{1}{n-1} } ,  x= -\sqrt{ \frac{1}{n-1} } i podstawieniu dwóch ostatnich doszedłem do sytuacji \frac{\frac{1}{n-1}} \left( { \frac{n}{n-1}\right)^{n} } zbytnio nie wiem co z tym dalej robić. Z góry dziękuję za pomoc
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2018, o 13:21 
Użytkownik

Posty: 3210
Zauważmy, że \left|\frac{x^2}{x^2+1}\right| < 1 , \ \  x\in \RR.

oraz

\lim_{n\to \infty} \frac{x^2}{(x^2 + 1)^{n}} = 0

Niech

d_{n} = \sup _{-\infty < x < \infty}|f_{n} - f(x)|

Jak obliczyłeś funkcje f_{n} o wartościach dodatnich w \RR osiągają swoje kresy górne w punktach x'_{n} = -\sqrt{\frac{1}{n-1}}, \ \ x''_{n} = \sqrt{\frac{1}{n-1}}.

oraz

\lim_{n\to \infty} d_{n}=\lim_{n\to \infty} f_{n}(x'_{n}) = \lim_{n\to \infty} f_{n}(x''_{n})=\lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{n-1}\cdot \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{n-1}\right)^{n}}\right)=0\cdot\frac{1}{e}=\\ = 0.

Jaki stąd wniosek?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2018, o 13:32 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Kraków
Czyli z tego wynika, że w punkcie 0 mam wartość największą? A potem podstawiam za x i staram się to szacować?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2018, o 14:17 
Użytkownik

Posty: 3210
Nie, w punkcie x = 0 występuje wartość najmniejsza tych funkcji - równa zeru.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2018, o 14:33 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Kraków
Skoro d jest równa 0 tzn. ,że będzie jednostajnie zbieżny, z czego wynika że będzie również punktowo zbieżny
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2018, o 14:55 
Użytkownik

Posty: 3210
Tak, bo zbieżność jednostajna f_{n} \rightrightarrows  f(x) jest równoważna temu, że odległość:

d(f_{n}, f) = \parallel f_{n} - f \parallel _{\infty} \rightarrow 0, dla n\rightarrow \infty.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2018, o 15:00 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Kraków
dziękuję za pomoc i cierpliwość
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 cze 2018, o 21:19 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Kraków
Czy to zadanie na pewno zostało zrobione poprawnie? Bo sprawdzanie, czy ta największa wartość zbiega do zera to metoda sprawdzania zbieżności ciągu funkcyjnego. Tu natomiast trzeba zbadać szereg funkcyjny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 cze 2018, o 23:49 
Użytkownik

Posty: 12521
Moim zdaniem masz rację.

Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego otrzymujemy, że dla x\neq 0 zachodzi
\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ x^{2} }{\left( 1+ x^{2} \right) ^{n} }= \frac{x^2}{1+x^2} \cdot  \frac{1}{1- \frac{1}{1+x^2} }  =1
natomiast dla x_0=0 mamy szereg złożony z samych zer, czyli zero. Gdyby ten szereg funkcyjny był jednostajnie zbieżny na \RR, to ciąg sum częściowych, który jest ciągiem funkcji ciągłych, byłby ciągiem jednostajnie zbieżnym na \RR, zatem jego granica byłaby funkcją ciągłą na \RR, no a nie jest, ponieważ funkcja
f(x)= \begin{cases} 1 \text{ gdy } x\neq 0\\ 0 \text{ gdy } x=0 \end{cases}
w sposób oczywisty nie jest ciągła.
Stąd wniosek, że wskazany szereg funkcyjny nie jest jednostajnie zbieżny na \RR.
Natomiast jest jednostajnie zbieżny w \RR\setminus(-\epsilon, \epsilon) dla dowolnego \epsilon>0.

Jeśli ktoś chce inaczej: wyrazy ciągu „reszt" dla x\neq 0:
\sum_{n=N}^{+\infty} \frac{x^2}{(1+x^2)^n} = \frac{x^2}{(1+x^2)^N} \cdot  \frac{1}{1-\frac{1}{1+x^2}}= \frac{1}{\left( 1+x^2\right)^{N-1} }
mogą przyjmować wartości dowolnie bliskie 1, więc
\lim_{N \to  \infty } \left( \sup_{x\in \RR}|f(x)-f_N(x)|\right) \neq 0.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbieżność punktowa i jednostajna szeregu  zeegy1  2
 Zbieżność punktowa i jednostajna szeregu - zadanie 2  realityoppa  1
 Współczynniki szeregu Fouriera  Grisp  4
 wyznacz obszar zbieżnosci szeregu - zadanie 2  geol13  1
 Znależć sumę szeregu - zadanie 7  malgoskk  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl