Strona główna Matematyka.pl » Matematyka i wyzwania » Olimpiady i konkursy matematyczne » Inne konkursy ogólnopolskie

Konkurs Politechniki Warszawskiej 2018

Strona 1 z 1

[ Posty: 3 ]

Autor

Wiadomość

pawlo007 Offline

Tytuł: Konkurs Politechniki Warszawskiej 2018

Napisane: 8 kwi 2018, o 15:02

Posty: 9
Lokalizacja: Warszawa

Witam przygotowuje się do finału konkursu politechniki i utknąłem na takim zadaniu z finału z 2015 roku

Cytuj:

Udowodnić prawdziwość następującej nierówności dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x, y, z:
$\frac{ x^{3}}{ (x+y)^{2} } + \frac{ y^{3} }{ (y+z)^{2} } + \frac{ z^{3} }{ (z+x)^{2} } \ge \frac{x+y+z}{4}$

Próbowałem to dosyć długo robić z nierówności między średnimi, ale niestety nic z tego mi nie wychodziło.

Góra

Premislav Offline

Tytuł: Re: Konkurs Politechniki Warszawskiej 2018

Napisane: 8 kwi 2018, o 15:21

Posty: 12899

Lemat:
$\frac{x^3}{(x+y)^2} \ge \frac{2x-y}{4}$
dla dowolnych dodatnich $x,y$ .
Dowód lematu:
równoważne
$4x^3\ge (2x-y)(x+y)^2\\ \left(x-y \right)^2(2x+y)\ge 0$
co jest jasne dla dodatnich $x,y$ .
Następnie:
Dodajemy trzy podobne nierówności stronami dla $(x,y), \ (y,z), \ (z,x)$ i do widzenia.
Tu był dobry artykuł o tym, jak wymyślać takie lematy:
http://www.deltami.edu.pl/temat/matemat ... i_styczne/

Ta nierówność już kilka razy pojawiała się na tym forum.

-- 8 kwi 2018, o 15:30 --

Można również i tak:
z nierówności Höldera mamy
$\left( (x+y)+(y+z)+(z+x)\right)^{\frac 2 3} \left( \frac{ x^{3}}{ (x+y)^{2} } + \frac{ y^{3} }{ (y+z)^{2} } + \frac{ z^{3} }{ (z+x)^{2} } \right)^{\frac 1 3} \ge x+y+z$
dla dowolnych dodatnich $x,y,z$ , podnosimy następnie do 3. potęgi, dzielimy stronami przez dodatnie
$4\left( x+y+z\right)^2$ i załatwione. Tutaj masz nierówność Höldera:
https://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B ... C3%B6ldera

-- 8 kwi 2018, o 15:34 --

Tutaj znalazłem dłuższą dyskusję na temat tej nierówności, może się przydać:
415517.htm

Góra

pawlo007 Offline

Tytuł: Re: Konkurs Politechniki Warszawskiej 2018

Napisane: 8 kwi 2018, o 15:55

Posty: 9
Lokalizacja: Warszawa

Wielkie dzięki

Góra

Poprzedni | Następny

	Strona 1 z 1	[ Posty: 3 ]

Strona główna Matematyka.pl » Matematyka i wyzwania » Olimpiady i konkursy matematyczne » Inne konkursy ogólnopolskie

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Autor	Odpowiedzi
Kangur 2018 KADET	marcinkrk	9
Konkurs Mat 2009	meason	21
Konkurs ekonomiczny "Z klasy do kasy"	ZKlasyDoKasy	0
Konkurs Prac Uczniowskich z Matematyki im. Pawła Domańskiego	yorgin	0
Konkurs matematyczny Politechniki Warszawskiej.	jarek4700	125

[Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]