szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2018, o 16:02 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Warszawa
Witam przygotowuje się do finału konkursu politechniki i utknąłem na takim zadaniu z finału z 2015 roku
Cytuj:
Udowodnić prawdziwość następującej nierówności dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x, y, z:
\frac{ x^{3}}{ (x+y)^{2} }  +  \frac{ y^{3} }{ (y+z)^{2} }  +   \frac{ z^{3} }{ (z+x)^{2} }  \ge   \frac{x+y+z}{4}

Próbowałem to dosyć długo robić z nierówności między średnimi, ale niestety nic z tego mi nie wychodziło. :?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2018, o 16:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 11865
Lokalizacja: Wrocław
Lemat:
\frac{x^3}{(x+y)^2} \ge  \frac{2x-y}{4}
dla dowolnych dodatnich x,y.
Dowód lematu:
równoważne
4x^3\ge (2x-y)(x+y)^2\\ \left(x-y \right)^2(2x+y)\ge 0
co jest jasne dla dodatnich x,y.
Następnie:
Dodajemy trzy podobne nierówności stronami dla (x,y), \ (y,z), \ (z,x) i do widzenia.
Tu był dobry artykuł o tym, jak wymyślać takie lematy:
http://www.deltami.edu.pl/temat/matemat ... i_styczne/

Ta nierówność już kilka razy pojawiała się na tym forum.

-- 8 kwi 2018, o 15:30 --

Można również i tak:
z nierówności Höldera mamy
\left( (x+y)+(y+z)+(z+x)\right)^{\frac 2 3} \left( \frac{ x^{3}}{ (x+y)^{2} } + \frac{ y^{3} }{ (y+z)^{2} } + \frac{ z^{3} }{ (z+x)^{2} } \right)^{\frac 1 3} \ge x+y+z
dla dowolnych dodatnich x,y,z, podnosimy następnie do 3. potęgi, dzielimy stronami przez dodatnie
4\left( x+y+z\right)^2 i załatwione. Tutaj masz nierówność Höldera:
https://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B ... C3%B6ldera

-- 8 kwi 2018, o 15:34 --

Tutaj znalazłem dłuższą dyskusję na temat tej nierówności, może się przydać:
415517.htm
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2018, o 16:55 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Warszawa
Wielkie dzięki :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Konkurs PW i format papieru  MrLan  2
 Kangur Junior 2018  PokEmil  15
 XVI Olimpiada Lingwistyki Matematycznej (2017/2018)  Hayven  33
 [Konkurs Prac Uczniowskich MIMUW i "Delty"] Prace  brolly  57
 Finał 14 edycji konkursu Politechniki Warszawskiej  bakala12  28
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl