szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 kwi 2018, o 21:37 
Użytkownik

Posty: 53
Lokalizacja: Warszawa
wykaż, że dla n>1 zachodzi nierówność :

n!< \left(  \frac{n+1}{2} \right) ^n
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2018, o 21:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12431
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
Tutaj masz udowodniony ogólniejszy fakt: 426074.htm

Wystarczy wziąć ciąg arytmetyczny o n-tym wyrazie danym równością a_n=n.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 kwi 2018, o 21:42 
Użytkownik

Posty: 53
Lokalizacja: Warszawa
Premislav napisał(a):
Tutaj masz udowodniony ogólniejszy fakt: 426074.htm

Wystarczy wziąć ciąg arytmetyczny o n-tym wyrazie danym równością a_n=n.

nie do końca rozumiem, ja musze udowodnic to poprzez indukcje matematyczna
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2018, o 21:50 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12431
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
W takim razie dobrze byłoby umieścić tę informację w pierwszym poście. Nie wiem, dlaczego uważasz, że ktoś tu posiada moc czytania w Twoich myślach.

1^{\circ} Dla n=2 nierówność przyjmuje postać \frac{9}{4} >2, co niewątpliwie jest prawdą.
2^{\circ} Jeśli dla pewnego n\in \NN^+ jest
n!<\left( \frac{n+1}{2}\right)^n, to
(n+1)!=(n+1)\cdot n!<(n+1)\cdot \left( \frac{n+1}{2}\right)^n=\\=2\cdot \left(  \frac{n+1}{2} \right)^{n+1}=2\left( \frac{n+2}{2}  \right)^{n+1} \cdot \left( \frac{n+1}{n+2}  \right)^{n+1}=\\=\left( \frac{n+2}{2}\right)^{n+1}\cdot  \frac{2}{\left( 1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} }  \le \left( \frac{n+2}{2}\right)^{n+1}
W pierwszym przejściu wykorzystałem założenie indukcyjne, a w ostatniej nierówności –fakt, że
\left( 1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\ge 2 dla dowolnego n\in \NN^+,
co wynika np. z nierówności Bernoulliego: https://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B ... rnoulliego
Tutaj x=\frac{1}{n+1}, \ \alpha=n+1.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 nierownosc z 5 zmiennymi - ile rozwiazan w l. naturalnych?  Anonymous  25
 turniej szachowy, wykaż że ...  Tomasz B  3
 wariacka suma:wykaż, że:  mol_ksiazkowy  1
 Nierówność z silnią  Zasados  2
 wykaż że jeżeli zdarzenia losowe.........  Matka Chrzestna  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl