szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2018, o 20:47 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Polska
Witam serdecznie,
Poniższe zadanie pochodzi z konkursu ST (dr A. Marczak)

Treść brzmi: oblicz granicę oraz zbadaj monotoniczność ciągu:
\lim_{ n->\ \infty  } \left( 1- \frac{5}{n} \right)  ^{n+4}

O ile granica to żaden problem, to monotoniczność sprawia mi kłopot. W zasadzie, cały egzamin sprawił większości osób kłopot. Zdało go około 10 max. 15 osób na 180... Próbowałem to rozwiązać na kilka sposobów, każdy był zły. Liczę na Państwa pomoc.

Pozdrawiam!
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 8 kwi 2018, o 21:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13126
Lokalizacja: Wrocław
Co do monotoniczności, przyjrzyj się rozważaniom z tego wątku:
369958.htm


A jak Ci się nie chce tego czytać, to dla n>5 zachodzi:
\left(1- \frac{5}{n}\right) ^{n+4}<\left( 1-\frac{5}{n+1}\right)^{n+5} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \left( 1+ \frac{5}{n-5} \right)^{n+4}>\left( 1+ \frac{5}{n-4} \right)^{n+5} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \left( \frac{n(n-4)}{(n-5)(n+1)}  \right)^{n+4} >1+ \frac{5}{n-4} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \left( 1+ \frac{5}{(n-5)(n+1)} \right)^{n+4}>1+ \frac{5}{n-4},
natomiast z nierówności Bernoulliego mamy
\left( 1+ \frac{5}{(n-5)(n+1)} \right)^{n+4}\ge 1+ \frac{5(n+4)}{(n-5)(n+1)},
więc wystarczy uzasadnić, że
1+ \frac{5(n+4)}{(n-5)(n+1)}\ge 1+ \frac{5}{n-4} dla n>5,
a to po skracaniach i wymnożeniu na pałę przez iloczyn mianowników sprowadza się do
4n \ge 11, co dla n>5 jest oczywiste.


A dla n\le 5 obawiam się, że trzeba sprawdzać ręcznie. Mnie się nie chce tego rozpisywać. Nie wiem w ogóle, do czego to potrzebne.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (2 zadania) Znajdź wyrazy ciągu arytmetycznego  Anonymous  2
 Znajdź sumę wyrazów ciągu geometrycznego, nieskończone  Anonymous  2
 Oblicz 20sty wyraz ciągu arytmetycznego  pitreq  2
 Suma ciągu geometrycznego  mhm  5
 Suma wyrazow ciagu geometrycznego.  Bartez+  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl