szukanie zaawansowane
 [ Posty: 14 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Uboga metryka
PostNapisane: 8 kwi 2018, o 22:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3273
Lokalizacja: blisko
Wiadomo, że każda metryka wyznacza pewną topologię.

Topologie natomiast można porządkować od najuboższej:

\left\{ \emptyset , X\right\}

Do najbogatszej czyli zbioru wszystkich podzbiorów...

Czy w związku z tym można znaleźć metrykę, która generuje relatywnie najuboższą topologię...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2018, o 23:59 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7825
Lokalizacja: Wrocław
Na zbiorze przynajmniej dwuelementowym - nie, bo topologia \{ \varnothing, X \} nie jest wtedy \mathrm{T}1 w przeciwieństwie to każdej topologii, która pochodzi od metryki.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 kwi 2018, o 00:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3273
Lokalizacja: blisko
Mi nie chodzi o topologię \emptyset, X tylko o najuboższą topologię w dowolnym zbiorze wygenerowanym przez jakąś metrykę i teraz w tym zbiorze spośród wszelakich metryk szukamy metryki najuboższej, czyli takiej co generuje jak najuboższą topologię...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 kwi 2018, o 16:11 
Użytkownik

Posty: 1576
Lokalizacja: Sosnowiec
Rozważmy zbiór X i rodzinę \mathcal{M}(X):=\{\tau\subseteq\mathcal{P}(X):\tau \mbox{ jest metryzowalną topologią na } X\}. Wiadomo, że \mathcal{M}(X) jest rodziną niepustą, bo topologia dyskretna zawsze jest metryzowalna. Wiadomo także, że przekrój dowolnej niepustej rodziny topologii jest topologią. Jeśli oznaczymy m(X):=\bigcap\mathcal{M}(X), to m(X) jest topologią na X. Jeśli dobrze zrozumiałem, to pytanie arka1357 brzmi: Czy m(X) jest metryzowalna?

Nie znam odpowiedzi w ogólności i być może odpowiedź ta zależy od zbioru X (a dokładnie od jego mocy). Na przykład dla zbioru skończonego X topologia dyskretna jest jedyną metryzowalną, więc m(X) jest topologią dyskretną i odpowiedź jest twierdząca.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 kwi 2018, o 21:56 
Użytkownik

Posty: 367
Lokalizacja: Wrocław
Jeśli X jest nieskończony, to m(X) nie jest metryzowalna, bo nie jest Hausdorffa.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2018, o 09:33 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7825
Lokalizacja: Wrocław
m(X) jest topologią zbiorów koskończonych na X.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 kwi 2018, o 09:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3273
Lokalizacja: blisko
Cytuj:
Jeśli dobrze zrozumiałem, to pytanie arka1357


A więc dobrze zrozumiałeś...

Czemu m(X) nie jest Hausdorfa?

m(X) jest topologią koskończoną?

Czemu skoro jest przecięciem wszystkich topologii metryzowalnych, oczywiście X zbiór nieskończony...

-- 19 kwietnia 2018, 10:23 --

Topologia m(X) powinna być metryzowalna a nie dopełnień skończonych...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 kwi 2018, o 19:11 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3986
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Kraków
matmatmm napisał(a):
Czy m(X) jest metryzowalna?


Na ogół nie jest. Niech X będzie zbiorem przeliczalnie nieskończonym. Wówczas do powyższej rodziny należą topologie \tau, \sigma, które zadają homeomorfizmy (X,\tau) \cong \{0\}\cup \{\tfrac{1}{n}\colon n =1,2,\ldots\} oraz (X,\sigma) \cong \{0,1\}\cup \{\tfrac{1}{n}, 1+ \tfrac{1}{n}\colon n =1,2,\ldots\}. Ponieważ obydwie przestrzenie są zwarte, są one zarazem minimalnymi topologiami Hausdorffa na X. Część wspólna \tau\cap \sigma nie jest zatem topologią Hausdorffa. W szczególności, m(X) nie jest topologią Hausdorffa.

Ten argument można rozszerzyć na dowolne zbiory nieskończone. Istotnie, niech X będzie zbiorem nieskończonym oraz X_0 jego ustalonym przeliczalnie nieskończonym podzbiorem. Na X_0 ustalamy topologie odpowiadające tym z powyższego przykładu oraz każdy punkt z X\setminus X_0 deklarujemy izolowanym. Wówczas tak zadane topologie na X są metryzowalne, ale ich część wspólna nie jest Hausdorffa (co wynika ze zwartości topologii dziedziczonych na X_0).

Można istotnie pokazać, że m(X) jest topologią zbiorów koskończonych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2018, o 00:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3273
Lokalizacja: blisko
Chodzi mi o to , czy topologie:

\tau, \sigma są topologiami indukowanymi z Topologii Euklidesowej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2018, o 00:36 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3986
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Kraków
arek1357 napisał(a):
Chodzi mi o to , czy topologie:

\tau, \sigma są topologiami indukowanymi z Topologii Euklidesowej.


Tak, istotnie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2018, o 00:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3273
Lokalizacja: blisko
Wszystko jasne ale jakoś mam niedosyt ponieważ, rozważając na przestrzeni X
topologie metryzowalne okazuje się że brak kresu górnego, który też byłby metryzowalny,
okazuje się że kres górny w m(X) jest koskończony prawda ale dziwna prawda...

Czyli jak powinna wyglądać topologia najuboższa ale jeszcze metryzowalna?

Czy w ogóle takowa istnieje?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2018, o 07:32 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3986
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Kraków
arek1357 napisał(a):
Czyli jak powinna wyglądać topologia najuboższa ale jeszcze metryzowalna?

Czy w ogóle takowa istnieje?

Powyższy przykład dotyczący przecięcia dwóch zwartych topologii pokazuje, że nie...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2018, o 09:04 
Gość Specjalny

Posty: 5793
Lokalizacja: Toruń
Spektralny napisał(a):
arek1357 napisał(a):
Czyli jak powinna wyglądać topologia najuboższa ale jeszcze metryzowalna?

Czy w ogóle takowa istnieje?

Powyższy przykład dotyczący przecięcia dwóch zwartych topologii pokazuje, że nie...


Tak - w tym posecie (ze względu na inkluzję) nie ma elementu najmniejszego. Aczkolwiek ciekawym wydaje się opisanie jego elementów minimalnych
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2018, o 11:17 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3986
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Kraków
bartek118 napisał(a):
wydaje się opisanie jego elementów minimalnych

Minimalne topologie metryzowalne są zwarte. Zobacz Theorem 2 w:

    C. T. Scarborough, R. M. Stephenson, Jr. Minimal topologies, Colloquium Mathematicae 19.2 (1968), 215-219.

Zobacz także tę pracę po referencje dotyczące minimalnych topologii w innych klasach przestrzeni.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 14 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Sprawdzanie czy podana funkcja jest metryką  krzysiek852  2
 Pseudometryka a metryka  Wojtolino  2
 Metryka na okręgu  21mat  1
 Metryka, zb. otwarte  wiwnes691  3
 Sprawdzanie czy para jest metryką.  edytka96  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl