szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 kwi 2018, o 14:12 
Użytkownik

Posty: 141
Lokalizacja: Poznań
Obliczyć promień zbieżności podanego szeregu potęgowego:
\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(3n)!}{n ^{n}(2n!) } \cdot x ^{n}
Licząc granicę utknąłem w tym miejscu
\lim_{ n\to \infty } \frac{\left( 3n+3\right)\left( 3n+2\right)\left(3n+1 \right) }{\left( 2n+2\right)\left( 2n+1\right) } \cdot \frac {n ^{n} }{n\left(n+1 \right) ^{n} }
i nie wiem co dalej z tym zrobić. Mógłby ktoś wyjaśnić?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 kwi 2018, o 14:21 
Administrator

Posty: 22399
Lokalizacja: Wrocław
Podziel licznik i mianownik przez n^3 i poprzekształcaj:

\lim_{ n\to \infty } \frac{\left( 3n+3\right)\left( 3n+2\right)\left(3n+1 \right) }{\left( 2n+2\right)\left( 2n+1\right) } \cdot \frac {n ^{n} }{n\left(n+1 \right) ^{n} }=\\
=\lim_{ n\to \infty } \frac{\left( 3+\frac{3}{n}\right)\left( 3+\frac{2}{n}\right)\left(3+\frac{1}{n} \right) }{\left( 2+\frac{2}{n}\right)\left( 2+\frac{1}{n}\right) } \cdot \frac{1}{\left(1+ \frac {1 }{n }\right)^n }

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 kwi 2018, o 16:54 
Użytkownik

Posty: 141
Lokalizacja: Poznań
Podzielić przez n ^{3}, a nie n???

-- 13 kwi 2018, o 17:45 --

A jeszcze jedno pytanie odnośnie promienia takiego szeregu
\sum_{n=0}^{ \infty }  \frac{n ^{3}+ 5 ^{n}  }{n ^{2}+10 ^{n} }
Z jakiego kryterium to policzyć, Cauchy'ego? Bo coś mi nie wychodzi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 kwi 2018, o 17:49 
Administrator

Posty: 22399
Lokalizacja: Wrocław
crative napisał(a):
Podzielić przez n ^{3} a nie n???

Przez n^3, po jednym n dla każdego nawiasu.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2018, o 00:40 
Użytkownik

Posty: 127
Lokalizacja: Warszawa
Podany przez Ciebie szereg jest szeregiem liczbowym wiec nie bardzo rozumiem pytanie o promien zbieznosci... Jezeli jednak chodziło o zbieznosc tego szeregu to tak, kryteria Cauchyego jak i d'Alemberta zadzialaja.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2018, o 11:19 
Użytkownik

Posty: 141
Lokalizacja: Poznań
Przypadkiem nie dopisałem za nawiasem x ^{n}
Ale nadal nie wiem jak to rozpisać \lim_{ x\to  \infty  }  \sqrt[n]{ \frac{n ^{3}+5 ^{n}  }{n ^{2}+10 ^{n}  } }
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 14 kwi 2018, o 11:48 
Użytkownik

Posty: 12037
\sqrt[n]{ \frac{5^n}{10^n+10^n} } <\sqrt[n]{ \frac{n ^{3}+5 ^{n} }{n ^{2}+10 ^{n} } }< \sqrt[n]{ \frac{5^n+5^n}{10^n} }
dla dostatecznie dużych n
i twierdzenie o trzech ciągach kończy sprawę.

Acz może warto jeszcze krótko uzasadnić użyte nierówności
10^n>n^2 oraz 5^n>n^3 dla n \in \NN^+. Można je w prosty sposób udowodnić indukcyjnie, przy czym ponieważ w naturalnych jest n^3\ge n^2 i 10^n\ge 5^n, więc wystarczy pokazać tylko tę nierówność 5^n>n^3.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Promień zbieżności - zadanie 13  Tomy666  1
 Promień zbieżności - zadanie 5  spidi_pl  1
 Promień zbieżności - zadanie 23  Maciek0921  2
 Promień zbieżności - zadanie 16  grazyna  1
 promien zbieznosci  tangerine87  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl