szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2018, o 14:24 
Użytkownik

Posty: 1021
Dzień dobry,

Zwracam się z zapytanie o uzasadnienie, dlaczego:

=&\left(1-\frac{1}{2N} \right)\left(1-\frac{2}{2N} \right) \cdots\left(1-\frac{k-1}{2N} \right)\\
=&1-\left(\frac{1+2+3+\ldots+(k-1)}{2N} \right)+\mathcal{O}\left(\frac{1}{N^2}\right)\\
=&1-\frac{k(k-1)}{4N}+\mathcal{O}\left(\frac{1}{N^2}\right).

Chodzi mi o przejście z pierwszej linijki do drugiej, dlaczego akurat \mathcal{O}\left(\frac{1}{N^2}\right)


Wiem, że wymnażając całe wyrażenie w pierwszej linijce otrzymamy między innymi 1-\left(\frac{1+2+3+\ldots+(k-1)}{2N} \right). Natomiast nie wiem dlaczego reszta jest rzędu \mathcal{O}\left(\frac{1}{N^2}\right).

Jak to pokazać?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2018, o 14:47 
Gość Specjalny

Posty: 5872
Lokalizacja: Toruń
squared napisał(a):
Jak to pokazać?


Wymnożyć uczciwie i policzyć.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2018, o 15:15 
Użytkownik

Posty: 1021
Tylko, że mnożenie uczciwe nie bardzo tu jest efektywne, bo czynników bardzo dużo.... jakieś wskazówki, by coś przybliżyć, jakoś uprosić?

np.

\left(1-\frac{1}{2N} \right)\left(1-\frac{2}{2N} \right) = 1-\frac{1}{2N}-\frac{2}{2N}+\frac{2}{(2N)^2}

\left(1-\frac{1}{2N} \right)\left(1-\frac{2}{2N} \right) \left(1-\frac{3}{2N} \right)= 1-\frac{1}{2N}-\frac{2}{2N}-\frac{3}{2N}+\frac{2}{(2N)^2}+\frac{3}{(2N)^2}+\frac{6}{(2N)^2}-\frac{6}{(2N)^3}


\left(1-\frac{1}{2N} \right)\left(1-\frac{2}{2N} \right) \left(1-\frac{3}{2N} \right) \left(1-\frac{4}{2N} \right)= 1-\frac{1}{2N}-\frac{2}{2N}-\frac{3}{2N}-\frac{4}{2N}++\frac{2}{(2N)^2}+\frac{3}{(2N)^2}+\frac{6}{(2N)^2}+\frac{4}{(2N)^2}+\frac{8}{(2N)^2}+\frac{12}{(2N)^2}-\frac{8}{(2n)^3}-\frac{8}{(2N)^3}-\frac{12}{(2N)^3}-\frac{6}{(2N)^3}+\frac{12}{(2N)^4}

I jak wyłapać jakąś zależność?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2018, o 17:29 
Użytkownik

Posty: 15823
Lokalizacja: Bydgoszcz
A czy wiesz w ogóle co znaczy zapis O(1/N^2)? Bo w tytule piszesz "o małe" a w treści ""o duże"
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2018, o 18:06 
Gość Specjalny

Posty: 5872
Lokalizacja: Toruń
Regularność jest taka, że każdy kolejny wyraz, poza tymi wypisanymi w pierwszym poście ma w mianowniku N w potędze przynajmniej 2.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2018, o 19:36 
Użytkownik

Posty: 1021
Czcionka
Kod:
1
\mathcal
nie obsługuje małego "o", stąd tak a nie inaczej to wygląda. Cały czas mi chodzi o małe "o".

bartek118 napisał(a):
Regularność jest taka, że każdy kolejny wyraz, poza tymi wypisanymi w pierwszym poście ma w mianowniku N w potędze przynajmniej 2.

Zauważyłem to, i taki komentarz wystarczy, że pozostałe elementy mają co najmniej (2N)^2 w mianowniku i starczy by napisać iż ów resztą to o\left(\frac{1}{N^2}\right)?

Po prostu nie wiem co dalej skomentować.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 kwi 2018, o 00:16 
Użytkownik

Posty: 15823
Lokalizacja: Bydgoszcz
squared napisał(a):
Zauważyłem to, i taki komentarz wystarczy, że pozostałe elementy mają co najmniej (2N)^2 w mianowniku i starczy by napisać iż ów resztą to o\left(\frac{1}{N^2}\right)?

Po prostu nie wiem co dalej skomentować.


To znaczy, że jednak nie rozumiesz co oznacza ta notacja. Przecież o\left(\frac{1}{(2N)^2}\right)=o\left(\frac{1}{N^2}\right), ale \frac{1}{(2N)^2}\neq o\left(\frac{1}{N^2}\right).

Przeczytaj definicję i pomyśl.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 kwi 2018, o 19:44 
Użytkownik

Posty: 1021
f(x)=o(g(x)) \Leftarrow \lim_{x\to
\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=0.

u(n)=\left(\frac{1}{N^2}\right) \Leftarrow\lim_{n\to
\infty}\frac{u(n)}{\frac{1}{N^2}}=0  \Leftrightarrow  \lim_{n\to
\infty}N^2u(n)=0

u(n)=\left(\frac{1}{(2N)^2}\right) \Leftarrow\lim_{n\to
\infty}\frac{u(n)}{\frac{1}{(2N)^2}}=0  \iff  \lim_{n\to
\infty}4N^2u(n)=0 \iff  \lim_{n\to
\infty}N^2u(n)


Mam więc, że
o\left(\frac{1}{(2N)^2}\right)=o\left(\frac{1}{N^2}\right)

Rozumiem w pełni ten symbol...

Wystarczy, więc pokazać, że
&\left(1-\frac{1}{2N} \right)\left(1-\frac{2}{2N} \right) \cdots\left(1-\frac{k-1}{2N} \right)\\ =
1-\left(\frac{1+2+3+\ldots+(k-1)}{2N} \right) + \mathcal{R}(n)

, gdzie

\lim_{n\to\infty}N^2\mathcal{R}(n)=0

Tylko jest problem, gdyż tak jak napisałem w ramach \mathcal{R}(n) są składniki postaci \frac{1}{N^a}, a\geq 2}. Stąd:

W N^2\mathcal{R}(n) są składniki postaci \sim N^a, a\leq 0}. No i problem jest właśnie ze składnikami, które są \sim c\in\RR. Gdyż przez to:

\lim_{n\to\infty}N^2\mathcal{R}(n)\neq 0 (wszystkie składniki zbiegają do zera poza wymienionymi wyżej).

Chyba, że kompletnie źle przeanalizowałem to.

Z góry dziękuję za wskazówki.

-- czwartek, 19 kwietnia 2018, 20:21 --

Ktoś ma jakieś wskazówki?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granica ciągu z liczbą "e"  rymek94  10
 "Odwrócone" twierdzenie Bolzano - Weierstrassa  Hendra  1
 Granice ciągów, silnia, "..."  K8Triton  2
 Zbiór przyjmujący dowolnie małe wartości  TorrhenMathMeth  4
 prosta granica z liczbą "e"  Ptasznik92  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl