szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 kwi 2018, o 19:24 
Użytkownik

Posty: 87
Lokalizacja: Kielce
Rozważmy rozkład B(n,p). Wiadomo, że p=0.3 oraz, że w badanej próbce wystąpiły 4 sukcesy. Wyznaczyć ENW(n).

Prosiłabym o pomoc z funkcją wiarygodności, dalej już dam radę sama.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2018, o 20:55 
Użytkownik

Posty: 3608
X_{i}, \ \ i=1,2,..., n jest niezależną zmienną losową o rozkładzie Bernoullego :

f(x_{i}, p) = p^{x_{i}}(1- p)^{1 -x_{i}} dla x_{i}\in\{0,1\}, \ \ 0< p < 1.

Z definicji funkcji największej wiarygodności:

L(p) = \prod_{i=1}^{n}f(x_{i},p) = p^{x_{1}}(1- p)^{1-x_{1}}\cdot ... \cdot p^{x_{n}}(1- p)^{1- x_{n}}.

Z własności działań na potęgach

L(p) = p^{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}(1- p) ^{n - \sum_{i=1}^{n}x_{i}}.

Logarytm naturalny funkcji wiarygodności

\ln( L(p)) = \sum_{i=1}^{n} x_{i} \ln(p) + ( n - \sum_{i=1}^{n}x_{i})\ln(1- p).


Pochodna I rzędu logarytmu funkcji wiarygodności

[\ln( L(p))]' = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}}{p} - \frac{n - \sum_{i=1}^{n}x_{i}}{1- p}\equiv  0 (1)

Mnożymy równanie (1) obustronnie przez p(1-p)

(1-p)\sum_{i=1}^{n}x_{i} - p (n - \sum_{i=1}^{n} x_{i}) = 0

\sum_{i=1}^{n} x_{i} - p\sum_{i=1}^{n} x_{i} - np + p\sum_{i=1}^{n}x_{i} = 0.

Stąd

{p^{*} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}}{n}.

Proszę sprawdzić, że dla p^{*} logarytm naturalny funkcji wiarygodności, tym samym funkcja wiarygodności osiąga maksimum lokalne.

Alternatywnie otrzymujemy postać estymatora największej wiarygodności ENW dla zmiennych losowych o rozkładzie Bernoullego w postaci:

\hat{p} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}}{n}.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 kwi 2018, o 19:52 
Użytkownik

Posty: 87
Lokalizacja: Kielce
Dobrze, ale jak tutaj "wsadzić" fakt, że odnotowano 4 sukcesy?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 kwi 2018, o 22:38 
Użytkownik

Posty: 3608
Podstawiamy \sum_{i=1}^{n}x_{i} = 4.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Estymator wariancji z próby- sprawdzenie obliczeń  emdoce  7
 Rozkład statystyk z próby - nieznane średnie  Uczy  1
 Estymator największej wiarygodności...  allonso1  0
 Rozkład normalny - sprawdzenie i pytanie  maciejsr50  3
 Estymator nieobciążony - zadanie 5  Lolek271  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl