szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
 Tytuł: Granica ciągu
PostNapisane: 15 kwi 2018, o 15:29 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Polska
Proszę o rozwiązanie granicy, albo o podanie jakiejś wskazówki.
\lim_{n\to\infty} \left(2^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\right) ^{n}
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Granica ciągu
PostNapisane: 15 kwi 2018, o 16:14 
Moderator

Posty: 4299
Lokalizacja: Kraków PL
\lim_{n\to\infty} \left(2^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\right)=\lim_{n\to\infty} 2^\frac{1}{n}  + \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}
Góra
Kobieta Offline
 Tytuł: Granica ciągu
PostNapisane: 15 kwi 2018, o 17:07 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Polska
SlotaWoj napisał(a):
\lim_{n\to\infty} \left(2^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\right)=\lim_{n\to\infty} 2^\frac{1}{n}  + \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}

Zapomniałam dodać za nawiasem potęgi, zatem napisana przez Pana zależność nie będzie prawdziwa.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Granica ciągu
PostNapisane: 15 kwi 2018, o 17:09 
Użytkownik

Posty: 15341
Lokalizacja: Bydgoszcz
Uczen227 napisał(a):
SlotaWoj napisał(a):
\lim_{n\to\infty} \left(2^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\right)=\lim_{n\to\infty} 2^\frac{1}{n}  + \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}

Zapomniałam dodać za nawiasem potęgi, zatem napisana przez Pana zależność nie będzie prawdziwa.

Ta równość jest i będzie prawdziwa. A to, że zapomniałaś o czymś, to zupełnie inna sprawa.
Góra
Kobieta Offline
 Tytuł: Granica ciągu
PostNapisane: 15 kwi 2018, o 17:11 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Polska
Uczen227 napisał(a):
Proszę o rozwiązanie granicy, albo o podanie jakiejś wskazówki.
\lim_{n\to\infty} \left(2^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\right) ^{n}


W tym przypadku już nie będzie
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 kwi 2018, o 17:17 
Użytkownik

Posty: 15341
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podstawy logiki się kłaniają
Zdanie: jak światło jest zielone, to mogę przejść przez ulicę. To zdanie jest prawdziwe. Czy sądzisz, że przestanie być prawdziwe gdy światło będzie czerwone?

SlotaWoj nie pisał o \lim_{n\to\infty} \left(2^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\right) ^{n} lecz o czymś zupełnie innym.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 kwi 2018, o 17:22 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Polska
a4karo napisał(a):
Podstawy logiki się kłaniają
Zdanie: jak światło jest zielone, to mogę przejść przez ulicę. To zdanie jest prawdziwe. Czy sądzisz, że przestanie być prawdziwe gdy światło będzie czerwone?

SlotaWoj nie pisał o \lim_{n\to\infty} \left(2^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\right) ^{n} lecz o czymś zupełnie innym.

Ale ja proszę o pomoc przy zadaniu \lim_{n\to\infty} \left(2^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\right) ^{n}, więc nie wiem po co ta agresja.

Jeśli nie możesz pomóc to się po prostu nie odzywaj i nie siej hejtu.
Bądźmy dla siebie życzliwsi, to forum służy chyba do pomocy, a nie do obrażania siebie nawzajem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 kwi 2018, o 17:29 
Użytkownik

Posty: 15341
Lokalizacja: Bydgoszcz
A możesz wskazać w którym miejscu Cię obraziłem? Wskazując błąd logiczny?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 kwi 2018, o 17:56 
Użytkownik

Posty: 12648
\lim_{n\to\infty} \left(2^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\right) ^{n}=\\=\lim_{n\to\infty} \left(1+\left(2^{\frac{1}{n}}-1+\frac{1}{n}\right)\right) ^{n}
i teraz tak:
jeśli oznaczymy a_n=\left(1+\left(2^{\frac{1}{n}}-1+\frac{1}{n}\right)\right) ^{n},
to
\ln a_n= \frac{\ln\left( 1+\left(2^{\frac{1}{n}}-1+\frac{1}{n}\right)\right) }{ \frac{1}{n} }=\\=\frac{\ln\left(1+\left(2^{\frac{1}{n}}-1+\frac{1}{n}\right) \right)}{2^{\frac{1}{n}}-1+\frac{1}{n}}\cdot  \frac{2^{\frac{1}{n}}-1+\frac{1}{n}}{\frac 1 n}
i teraz korzystając ze znanych granic specjalnych:
\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} =1\\ \lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x}=\ln a, \ a>0
i z definicji Heinego granicy funkcji otrzymujemy, że
\lim_{n \to  \infty }\ln a_n=1+\ln 2,
a zatem z ciągłości e^x jest
\lim_{n \to  \infty }a_n=  \lim_{n \to  \infty } e^{\ln a_n}=e^{1+\ln 2}=2e
Góra
Kobieta Offline
 Tytuł: Granica ciągu
PostNapisane: 15 kwi 2018, o 18:01 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Polska
Dziękuję :)
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Granica ciągu
PostNapisane: 15 kwi 2018, o 18:58 
Użytkownik

Posty: 3560
Można znacznie prościej, wyłączając 2^{\frac{1}{n}} przed nawias i sprowadzając n- tą potęgę dwumianu do e :

\lim_{n\to \infty}\left(2^{\frac{1}{n}} +\frac{1}{n}\right)^{n}= \lim_{n\to \infty}2\left( 1 + \frac{1}{n\cdot 2^{\frac{1}{n}}}\right)^{n} = 2\cdot \lim_{n\to \infty}\left[ \left(1 + \frac{1}{n\cdot 2^{\frac{1}{n}}}\right) ^{n\cdot 2^{\frac{1}{n}}}\right]^{\frac{1}{2^{\frac{1}{n}}}}= \\ = 2\cdot \lim_{n\to \infty} e^{\frac{1}{2^{n}}}= 2e.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granica ciągu  mynihon  2
 Granica ciągu - zadanie 1317  Grzebyq  7
 Granica ciagu  oczek  4
 Granica ciągu - zadanie 2  rubo  1
 Granica ciągu - zadanie 3  rubo  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl