Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Analiza » Ciągi i szeregi funkcyjne

Zbieżność jednostajna ciągu funkcyjnego. - zadanie 2

Strona 1 z 1

[ Posty: 5 ]

Autor

Wiadomość

ronisert Offline

Tytuł: Zbieżność jednostajna ciągu funkcyjnego.

Napisane: 15 kwi 2018, o 19:24

Posty: 22
Lokalizacja: Warszawa

Witam serdecznie,
mam problem z ciągiem funkcyjnym postaci $f_{n}(x)=\left(\minuso-1\right)^{n}n\,\sin\left(\pi\sqrt{x^{2}+n^{2}}\right)$ . Zbadałem jego zbieżność punktową, wynosi ona $\frac{\pi}{2}x^{2}$ .

Mam teraz problem z jednostajną zbieżnością. Moja intuicja podpowiada, że nie będzie on jednostajnie zbieżny, jednak nie potrafię tego pokazać. Zapewne "źle będzie się z nim działo" w nieskończoności, ale nie potrafię dobrać tak ciągów, aby mieć coś sensownego. Macie jakieś propozycje?

Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018

Góra

Premislav Offline

Tytuł: Re: Zbieżność jednostajna ciągu funkcyjnego.

Napisane: 15 kwi 2018, o 20:14

Posty: 11871
Lokalizacja: Wrocław

Zastanawiam się (to oczywiście nie jest uwaga do Ciebie), po co dawać takie zadania.
Granica punktowa OK.

Natomiast brak zbieżności jednostajnej chyba jest prostą sprawą, weźmy
$x=n$ , wówczas $\left| f_n(x)- \frac{\pi}{2} x^2\right| = \frac{\pi n^2}{2}$ , czyli
nie może zachodzić
$\lim_{n \to \infty }\left( \sup_{x \in \RR}\left| f_n(x)- \frac{\pi}{2} x^2\right| \right) =0$
a ten warunek jest równoważny zbieżności jednostajnej tego ciągu funkcyjnego do $\frac{\pi}{2}x^2.$

Góra

ronisert Offline

Tytuł: Zbieżność jednostajna ciągu funkcyjnego.

Napisane: 15 kwi 2018, o 20:51

Posty: 22
Lokalizacja: Warszawa

Wielkie dzięki za odpowiedź, już sobie poradziłem. Pewne błędy nie pozwoliły mi zauważyć, że na najprostszym ciągu "psuje" się jednostajna zbieżność.

Góra

Adam-m Offline

Tytuł: Re: Zbieżność jednostajna ciągu funkcyjnego.

Napisane: 16 kwi 2018, o 14:49

Posty: 8
Lokalizacja: Legnica

Małe niedopatrzenie, praktycznie nieszkodliwe.
$x=n$ nie jest najlepszym podstawieniem, $x = \sqrt{3}n$ jest lepsze
Jak je zastąpimy to będzie ok

Góra

Premislav Offline

Tytuł: Re: Zbieżność jednostajna ciągu funkcyjnego.

Napisane: 16 kwi 2018, o 15:37

Posty: 11871
Lokalizacja: Wrocław

Racja, dzięki za uwagę. No krótko mówiąc chodzi o to, by ten sinus się zerował, a źle policzyłem, kiedy to następuje, ponieważ nie umiem dodawać.

Góra

Poprzedni | Następny

	Strona 1 z 1	[ Posty: 5 ]

Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Analiza » Ciągi i szeregi funkcyjne

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Autor	Odpowiedzi
Zbieżność jednostajna ciągu funkcyjnego.	edytka96	12
Zbieznasc punktowa ciagu	marcin-tryka	1
Zbadaj zbieżność szeregu...	mm34639	3
Zbieznosc szeregu potegowego	haxo	5
Zbieznosc szeregu funkcyjnego	Gnomek	0

[Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]