szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 kwi 2018, o 19:44 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Toruń
Jak udowodnić poniższe twierdzenie?
Niezerowa funkcja arytmetyczna f jest multiplikatywna wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych parami roznych liczb pierwszych p_1,... p_s i dowolnych nieujemnych liczb calkowitych \alpha _{1},...\alpha_s, zachodzi równość
f(p_1^{\alpha_1} \cdots p_s^{\alpha_s})= f(p_1^{\alpha_1} )\cdots f(p_s^{\alpha_s} )
Profesor mi kazał indukcyjnie po s, ale za bardzo nie rozumiem . Prosze o pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 kwi 2018, o 19:49 
Użytkownik

Posty: 775
Lokalizacja: Polska
Definicja funkcji multiplikatywnej mówi, że dla liczb względnie pierwszych a i b masz
f(a)f(b) = f(ab)

Zatem z łatwością z postaci
f(a_1 ... a_n) = f(a_1 ... a_k) f(a_{k+1} ... a_n}) i można powtarzać ten cykl aż do postaci f(p_1 ^{b_1})f(p_2 ^{b_2})...f(p_s ^{b_s})

A w drugą stronę? spróbuj coś pogłówkować...
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 17 kwi 2018, o 20:09 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Toruń
Dla n=1 będzie równość, a co dalej?
(p_1^{\alpha_1} \cdots p_s^{\alpha_s})p_{s+1}^{\alpha_{s+1}} ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 kwi 2018, o 22:34 
Użytkownik

Posty: 775
Lokalizacja: Polska
Pokazaliśmy, że jeśli f jest multiplikatywna, to zachodzi
f(p_1^{\alpha_1} \cdots p_s^{\alpha_s})= f(p_1^{\alpha_1} )\cdots f(p_s^{\alpha_s} )

Teraz trzeba pokazać, że jeśli zachodzi
f(p_1^{\alpha_1} \cdots p_s^{\alpha_s})= f(p_1^{\alpha_1} )\cdots f(p_s^{\alpha_s} )
to f jest multiplikatywna

Otóż można to pokazać na prostej zasadzie.

Podstawiając p_{a_1}^{\alpha_{a_1}} ... p_{a_k}^{\alpha_{a_k}} = a
p_{b_1}^{\alpha_{b_1}} ... p_{b_l}^{\alpha_{b_l}} = b
dla pewnych ciągów takich, że ciąg (a_1, a_2, ... a_k, b_1, b_2, ..., b_l) jest permutacją ciągu (1, 2, 3, ..., s)
Otrzymujemy
f(ab) = f(p_{a_1}^{\alpha_{a_1}} ... p_{a_k}^{\alpha_{a_k}} p_{b_1}^{\alpha_{b_1}} ... p_{b_l}^{\alpha_{b_l}}) =f(p_{a_1}^\alpha_{a_1})...f(p_{a_k}^\alpha_{a_k})f(p_{b_1}^\alpha_{b_1})...f(p_{b_l}^\alpha_{b_l}), ale przecież
f(p_{a_1}^{\alpha_{a_1}})...f(p_{a_k}^{\alpha_{a_k}})=f(p_{a_1}^{\alpha_{a_1}} ... p_{a_k}^{\alpha_{a_k}}) = f(a)
Oraz f(p_{b_1}^{\alpha_{b_1}})...f(p_{b_l}^{\alpha_{b_l}})= f(p_{b_1}^{\alpha_{b_1}} ... p_{b_l}^{\alpha_{b_l}}) = f(b)
A zatem
f(ab)=f(a)f(b), czyli f jest multiplikatywna, c.b.d.o.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcje multiplikatywne - zadanie 2  Swider  1
 funkcje multiplikatywne  patricia__88  2
 Bijekcja, funkcje odwrotne  Akiva  1
 multiplikatywne działanie  BB8  2
 Funkcje arytmetyczne i notacja dużego O  patt  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl