szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 kwi 2018, o 10:37 
Użytkownik

Posty: 46
Lokalizacja: Tu
Niech dla każdego k=1,2,3,...,n
a_k=1+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{5}+...+ \frac{1}{2k-1}
Pokaż, że:
\frac{1}{2}a_n^2+(a_n-a_1)^2+(a_n-a_2)^2 +...+(a_n-a_{n-1})^2= \frac{n}{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 kwi 2018, o 14:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13168
Lokalizacja: Wrocław
Indukcja po n\in \NN^+. Dla n=1 mamy po prostu równość \frac 1 2=\frac 1 2. Przypuśćmy teraz, że dla pewnego n\in \NN^+ zachodzi:
\frac{1}{2}a_n^2+(a_n-a_1)^2+(a_n-a_2)^2 +...+(a_n-a_{n-1})^2= \frac{n}{2}
Pokażemy, że wówczas
\frac{1}{2}a_{n+1}^2+(a_{n+1}-a_1)^2+(a_{n+1}-a_2)^2 +...+(a_{n+1}-a_{n})^2= \frac{n+1}{2}
Oznaczmy bowiem A_n=\frac{1}{2}a_n^2+(a_n-a_1)^2+(a_n-a_2)^2 +...+(a_n-a_{n-1})^2. Wówczas ze wzoru na różnicę kwadratów mamy
A_{n+1}-A_n=\\=\frac 1 2(a_{n+1}-a_n)(a_{n+1}+a_n) + \sum_{k=1}^{n-1}\left( (a_{n+1}-a_k)^2-(a_n-a_k)^2\right)  +(a_{n+1}-a_n)^2=\\=\frac 1 2(a_{n+1}-a_n)(a_{n+1}+a_n) + \sum_{k=1}^{n-1}\left( a_{n+1}-a_n\right) \left(a_{n+1}+a_n-2a_k \right)  +(a_{n+1}-a_n)^2=\\=(a_{n+1}-a_n)\left(\frac 3 2 a_{n+1}-\frac 1 2 a_n+(n-1)a_{n+1}+(n-1)a_n-2 \sum_{k=1}^{n-1}a_k  \right)
Teraz popatrzmy na tę sumę: \sum_{k=1}^{n-1}a_k
Zauważmy, że ułamek \frac{1}{2m-1}, gdzie m\in\left\{ 1\ldots n-1\right\} wystąpi w niej dokładnie n-m razy (ponieważ mamy n-1 wyrazów w tej sumie \sum_{k=1}^{n-1}a_k i ułamek \frac{1}{2m-1} nie wejdzie w skład m-1 pierwszych wyrazów, ponieważ a_k kończy się wyrażeniem \frac{1}{2k-1}).
Zatem otrzymujemy:
2 \sum_{k=1}^{n-1}a_k =2 \sum_{m=1}^{n-1} \frac{n-m}{2m-1}=\\=(2n -1)\sum_{m=1}^{n-1}\frac{1}{2m-1}-2 \sum_{m=1}^{n-1}  \frac{m-\frac 1 2}{2m-1}=\\=(2n-1)a_{n-1}- (n-1)

Cała sprawa sprowadza się więc do wykazania, że zachodzi równość:
(a_{n+1}-a_n)\left(\frac 3 2 a_{n+1}-\frac 1 2 a_n+(n-1)a_{n+1}+(n-1)a_n+n-1-(2n-1)a_{n-1}\right)=\\=\frac 1 2
W tym celu odnotujmy, że
a_{n+1}=a_n+\frac{1}{2n+1}\\ a_n=a_{n-1}+\frac{1}{2n-1}
czyli
(a_{n+1}-a_n)\left(\frac 3 2 a_{n+1}-\frac 1 2 a_n+(n-1)a_{n+1}+(n-1)a_n+n-1-(2n-1)a_{n-1}\right)=\\= \frac{1}{2n+1}\left( \left( n+\frac 1 2\right)a_{n+1}+\left( n-\frac 3 2\right) a_n+n-1-(2n-1)a_{n-1} \right)=\\= \frac{1}{2n+1}\left( \left( n+\frac 1 2\right)(a_{n+1}-a_{n-1})+\left( n-\frac 3 2\right) (a_n-a_{n-1})+n-1 \right)=\\= \frac{1}{2n+1}\left( \left( n+\frac 1 2\right)\cdot \left( \frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n-1}\right) +\left( n-\frac 3 2\right)\cdot \frac{1}{2n-1}+n-1\right)=\\=\frac 1 2

Zatem w kroku indukcyjnym zakładając, że A_{n}=\frac{n}{2} dla pewnego n\in \NN^+ i dodając stronami A_{n+1}-A_n=\frac 1 2 otrzymujemy
A_{n+1}=\frac{n+1}{2}, c.k.d.

A może istnieje ładniejsze podejście? Bo to jest niestety śmiertelnie nudne.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Czy istnieją ciagi liczb o własnościach ... ?  Anonymous  3
 Rozwiąż równanie. Suma szeregów geometrycznych  Margaretta  2
 Suma cząstkowa szeregu.  Anonymous  1
 Szeregi liczbowe (suma czesciowa)  Anonymous  1
 Suma szeregu - zadanie 141  Agniezcka  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl