szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 kwi 2018, o 18:44 
Użytkownik

Posty: 31
Lokalizacja: Kraków
Zbadać zbieżność, a w przypadku istnienia wyznaczyć granice ciągów :roll: :roll:

\left( \frac{2n-1}{2n+1} \right) ^{n- \frac{n}{3} }
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 kwi 2018, o 19:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13168
Lokalizacja: Wrocław
Na pewno tak to wygląda? Nie widzę związku z analizą zespoloną, to wygląda jak zwykłe zadanie z analizy 1.
\left( \frac{2n-1}{2n+1} \right) ^{n- \frac{n}{3} }=\left(\left( 1-\frac{2}{2n+1}\right)^{2n+1}\right)^{ \frac{\frac 2 3 }{2+\frac 1 n} }\stackrel{n\rightarrow \infty}\longrightarrow e^{-\frac 2 3}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 kwi 2018, o 19:12 
Użytkownik

Posty: 31
Lokalizacja: Kraków
Takie zadania dostałem na maila od wykładowcy i jest napisane na początku listy "Analiza zespolona. Ciągi zespolone". Co za czarna magia to co wysłałeś w rozwiązaniu :D.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 kwi 2018, o 19:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13168
Lokalizacja: Wrocław
Stały się tu takie rzeczy:

\frac{2n-1}{2n+1} =\frac{2n+1-2}{2n+1}=1-\frac{2}{2n+1}
Ponadto
n-\frac n 3=\left( 2n+1\right) \cdot  \frac{n-\frac n 3}{2n+1} =\left( 2n+1\right) \cdot  \frac{\frac 2 3}{2+\frac 1 n}
Nieprzypadkowo tak to rozpisywałem, ponieważ jak mamy już to 1-\frac{2}{2n+1} podniesione do jakiejś potęgi zależnej od n, to nasuwa się taka znana granica
\lim_{n \to  \infty } \left( 1+\frac x n\right)^n=e^x
W szczególności więc po liczbach nieparzystych mamy tę samą granicę (oczywiście jeśli granica ciągu istnieje, to granica każdego jego podciągu jest taka sama), tj.
\lim_{n \to  \infty } \left( 1+\frac x {2n+1}\right)^{2n+1}=e^x
Więc sprowadziłem do takiej postaci, żeby to wykorzystać. tutaj x=-2.

Na koniec użyłem takiego faktu: jeśli istnieją granice właściwe (tj. nie plus/minus nieskończoność)
\lim_{n \to \infty  } a_n=g, \  \lim_{n \to \infty  } b_n=h
oraz g>0, to \lim_{n \to  \infty } a_n^{b_n}=g^h
Tutaj a_n=\left( 1-\frac{2}{2n+1}\right)^{2n+1}, a b_n to ten wykładnik
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyprowadzenie podstawowych wzorów dotyczących ciągów.  Anonymous  6
 (2 zadania) Zbadaj monotoniczność ciągów  Anonymous  4
 Zbadaj monotoniczność ciągu - zadanie 69  Anonymous  2
 Granica ilorazu ciągów a zbiór R_+  Arek  6
 (3 zadania) Testy dotyczące ciągów  Anonymous  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl