Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Analiza » Własności i granice ciągów

Wspólna granica

Strona 1 z 1

[ Posty: 2 ]

Autor

Wiadomość

mol_ksiazkowy Offline

Tytuł: Wspólna granica

Napisane: 20 kwi 2018, o 14:30

Posty: 5665
Lokalizacja: Kraków

Niech $0< a< b$ oraz $a_0= a \ \ b_0=b$ oraz
$\begin{cases}a_{n+1}= \sqrt{a_nb_n} \\ b_{n+1}= \frac{a_n+b_n}{2} \end{cases}$
gdy $n \geq 0$ .
Udowodnić, że $\lim a_n = \lim b_n$

Góra

a4karo Offline

Tytuł: Re: Wspólna granica

Napisane: 20 kwi 2018, o 15:17

Posty: 15818
Lokalizacja: Bydgoszcz

Na oko widać, że tą granicą jest

$\frac{\pi}{2}\left(\int_0^{\pi/2}\frac{d\varphi}{\sqrt{a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi}}\right)^{-1}$

-- 20 kwi 2018, o 15:31 --

A tak na poważnie, to łatwo widać, że wszystkie wyrazy ciągów leżą w przedziale $(a,b)$ oraz

$|b_{n+1}-a_{n+1}|\leq \frac{|b_n-a_n|}{2}$ , (bo oba wyrazy z lewej strony leżą w jednej połówce przedziału poprzedzającego), co prostą indukcją daje
$|b_{n+1}-a_{n+1}|\leq \frac{b-a}{2^{n+1}}$

Widać też, że ciąg $a_n$ rośnie, zaś $b_n$ maleje.

Ta granica to średnia arytmetyczno-geometryczna liczb $a,b$ , a wzór powyższy pochodzi od Gaussa

Góra

Poprzedni | Następny

	Strona 1 z 1	[ Posty: 2 ]

Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Analiza » Własności i granice ciągów

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Autor	Odpowiedzi
Granica ilorazu ciągów a zbiór R_+	Arek	6
Granica ciągu z pierwiastkiem - zadanie 21	Anonymous	3
Granica ciągu	mynihon	2
Granica ciągu - zadanie 1317	Grzebyq	7
Granica funkcji/funkcja odwrotna.	Anonymous	2

[Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]