szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 kwi 2018, o 14:30 
Użytkownik

Posty: 5665
Lokalizacja: Kraków
Niech 0< a< b oraz a_0= a \ \ b_0=b oraz
\begin{cases}a_{n+1}= \sqrt{a_nb_n} \\ b_{n+1}= \frac{a_n+b_n}{2} \end{cases}
gdy n \geq 0.
Udowodnić, że \lim a_n =  \lim b_n
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 kwi 2018, o 15:17 
Użytkownik

Posty: 15818
Lokalizacja: Bydgoszcz
Na oko widać, że tą granicą jest

\frac{\pi}{2}\left(\int_0^{\pi/2}\frac{d\varphi}{\sqrt{a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi}}\right)^{-1}

:P

-- 20 kwi 2018, o 15:31 --

A tak na poważnie, to łatwo widać, że wszystkie wyrazy ciągów leżą w przedziale (a,b) oraz

|b_{n+1}-a_{n+1}|\leq \frac{|b_n-a_n|}{2}, (bo oba wyrazy z lewej strony leżą w jednej połówce przedziału poprzedzającego), co prostą indukcją daje
|b_{n+1}-a_{n+1}|\leq \frac{b-a}{2^{n+1}}

Widać też, że ciąg a_n rośnie, zaś b_n maleje.

Ta granica to średnia arytmetyczno-geometryczna liczb a,b, a wzór powyższy pochodzi od Gaussa
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granica ilorazu ciągów a zbiór R_+  Arek  6
 Granica ciągu z pierwiastkiem - zadanie 21  Anonymous  3
 Granica ciągu  mynihon  2
 Granica ciągu - zadanie 1317  Grzebyq  7
 Granica funkcji/funkcja odwrotna.  Anonymous  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl