szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 kwi 2018, o 19:38 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Kraków
Mam takie twierdzenie:

Niech \Omega \subset \mathbb{C} będzie obszarem, wówczas następujące warunki są równoważne:
i) \forall f \in \mathcal{O}(\Omega) \: \exists F \in \mathcal{O}(\Omega): \quad F'=f, \quad (istnienie funkcji pierwotnej)
ii) \forall f \in \mathcal{O}_*(\Omega) \: \exists g \in \mathcal{O}(\Omega): \quad e^g=f, \quad (istnienie logarytmu)
iii) \forall f \in \mathcal{O}_*(\Omega) \: \exists g \in \mathcal{O}_*(\Omega): \quad g^2=f, \quad (istnienie pierwiastka)
iv) \Omega jest obszarem jednospójnym.
( \mathcal{O}_*(\Omega) oznacza zbiór funkcji holomorficznych, które nigdzie sie nie zerują)

potrzebuję je udowodnić, jak na razie mam tyle:

i) \Rightarrow ii) Niech f\in \mathcal{O}_*(\Omega), wówczas wiemy, że \dfrac{f'}{f} \in \mathcal{O}(\Omega) i na mocy i) istnieje funkcja pierwotna g \in \mathcal{O}(\Omega) taka, że g'=\dfrac{f'}{f}, czyli g'\cdot f=f'. Jeśli teraz ustalimy z_0 \in \Omega, to istnieje g takie, że e^{g(z_0)}=f(z_0) i wówczas \left( \dfrac{e^g}{f}\right)'=0, czyli \dfrac{e^g}{f}=const. Dostajemy więc, że e^g=f.
ii) \Rightarrow iii) Wystarczy, że podstawimy: \displaystyle e^g=\left(e^{\frac{g}{2}}\right)^2.
i) \Rightarrow iv) Niech f\in\mathcal{O}(\Omega), gdzie \Omega jest obszarem w \mathbb{C}. Posiada ona pierwotną, którą możemy zdefiniować następująco dla punktu z_0 \in \Omega:
F(z):=\int_{z_0}^z f(\xi)d\xi, \quad z\in\Omega.
Jednak, aby to miało sens, całka nie może zależeć od drogi całkowania pomiędzy z_0 i z, a wiemy z Twierdzenia Cauchy'ego, że zachodzi to dla obszaru jednospójnego.

z tym, że nie jestem pewna poprawności tego dowodu a zwłaszcza ostatniej implikacji, czy ktoś wie jak pomóc?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 kwi 2018, o 15:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3010
Lokalizacja: Radom
Cytuj:
i) \Rightarrow iv) Niech f\in\mathcal{O}(\Omega), gdzie \Omega jest obszarem w \mathbb{C}. Posiada ona pierwotną, którą możemy zdefiniować następująco dla punktu z_0 \in \Omega:
F(z):=\int_{z_0}^z f(\xi)d\xi, \quad z\in\Omega.
Jednak, aby to miało sens, całka nie może zależeć od drogi całkowania pomiędzy z_0 i z, a wiemy z Twierdzenia Cauchy'ego, że zachodzi to dla obszaru jednospójnego.


A czy twierdzenie Cuachy'ego mówi Ci, że to zachodzi tylko i wyłącznie dla obszaru jednospójnego?
Otóż to właśnie masz pokazać.

Cytuj:
Posiada ona pierwotną, którą możemy zdefiniować następująco dla punktu

Nie możesz jej tak zdefiniować, bo nie wiesz, że całka nie zależy od wyboru drogi.

Proponuję następującą wskazówkę : wiesz, że obszar ograniczony przez krzywą jest homeomorficzny z dyskiem. Zatem jeśli dany obszar U zawiera cały obszar ograniczony przez krzywą, to ta krzywa jest homotopijnie trywialna. Załóżmy zatem, że istnieje krzywa \gamma w U i punkt z_0 taki,że z_0 \notin U oraz z_0 lezy w obszarze ograniczonym przez krzywą. No i rozważamy sobie funkcję f:U \rightarrow \CC

f(z) =  \frac{1}{z-z_0}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dowód przejścia w okrąg jednostkowy  mbyron95  6
 punkt osobliwy na brzegu obszaru  koralik  19
 funkcje zespolone, dowód  gienia  5
 Znaleźć obraz obszaru przy podanej homografii  agusia17851  1
 Dowód wzoru de Moivre'a z wykorzystaniem wzoru Eulera  Hendra  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl