szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 kwi 2018, o 10:27 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Warszawa
\sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{5 ^{n}-\left( -3\right) ^{n} }{n ^{2} }x ^{n}
\sum_{ n=1 }^{ \infty }\tg \frac{1}{n}\left( x-2\right) ^{n}
Proszę o pomoc i wskazówki jak to rozwiązać, bo w odpowiedziach mam podane \left\langle -5,5\right \rangledla pierwszego i \left( -1,1\right\rangle dla drugiego.

W drugim przykładzie na pierwszy rzut oka nie odpowiada mi już środek, który będzie x=2, więc przedział zbieżności nie może być tak jak w odpowiedziach. Przy próbie liczenia wyszło mi, że obszar zbieżności tego szeregu to \left[ 1,3\right)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 21 kwi 2018, o 11:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1222
Lokalizacja: hrubielowo
Z kryterium Cauchy'ego można określić dla jakich x będzie spełnione:

\lim_{n \to  \infty } \sqrt[n]{\left| \frac{5 ^{n}-\left( -3\right) ^{n} }{n ^{2} }x ^{n}
\right| }<1

Czyli innymi słowy kiedy będzie tak:

\lim_{n \to  \infty } \sqrt[n]{\left| \frac{5 ^{n}-\left( -3\right) ^{n} }{n ^{2} }x ^{n}
\right| }=5\left| x\right|<1

Z tego wynika że promień zbieżności to \left( - \frac{1}{5},  \frac{1}{5}  \right) a sprawdzenie krańców przedziały robisz przez podstawianie ich do szeregu, okaże się wtedy że krańce też należą do promienia zbieżność. Więc ostatecznie powinno być \left[ - \frac{1}{5},  \frac{1}{5} \right].

W tym drugim przykładzie można analogicznie postąpić:

\lim_{n \to  \infty }  \sqrt[n]{\tg \frac{1}{n}\left( x-2\right) ^{n}}=\left| x-2\right|<1

Więc zbieżność mamy zagwarantowaną dla x\in\left( 1,3\right) przy czym dokładniejsze badanie pokazuje że x=1 można dołączyć do promienia zbieżności na mocy kryterium Leibniza. Ale już dla x=3 szereg jest rozbieżny na mocy ilorazowego z \sum_{}^{}  \frac{1}{n}. Więc zostaje x\in\left[ 1,3\right)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 kwi 2018, o 11:48 
Użytkownik

Posty: 15037
Lokalizacja: Bydgoszcz
W drugim masz rację. W pierwszym zauważ, że 5^n jest dużo większe od 3^n.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 kwi 2018, o 11:57 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Warszawa
A jeśli w pierwszym zrobię tak jak wyżej, z kryt. Cauchy'ego i potem skorzystam z tw. o 3 ciągach? Z góry oszacowałbym tak \sqrt[n]{ \frac{2 \cdot  5^{n} }{n ^{2} } } , tylko nie wiem co z dołem..
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 21 kwi 2018, o 12:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1222
Lokalizacja: hrubielowo
dół możesz też szacować tak:

\sqrt[n]{ \frac{5^n-3^n}{n^2} }= \frac{ 5 \cdot \sqrt[n]{1-\left(  \frac{3}{5} \right)^n } }{ \sqrt[n]{n^2} } \rightarrow 5
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 kwi 2018, o 12:01 
Użytkownik

Posty: 15037
Lokalizacja: Bydgoszcz
3^n<5^n/2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 kwi 2018, o 12:13 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Warszawa
A podpowiecie, z którego kryterium określić krańce przedziału? Z Cauchy'ego wychodzi 1 i to nic nie daje.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 21 kwi 2018, o 12:19 
Użytkownik

Posty: 12306
Lokalizacja: Presslaw
Oczywiście, że to coś daje. Być może za bardzoś przyzwyczaił się do szeregów liczbowych, gdzie istotnie granica odpowiedniego wyrażenia równa 1 w kryteriach Cauchy'ego czy d'Alemberta nic nam nie daje. Tutaj jednak interesuje Cię samo wyrażenie
\limsup_{n \to  \infty } \sqrt[n]{|a_n|}, jego odwrotność (jak ta granica wynosi zero, wtedy masz promień zbieżności nieskończoność) to będzie promień zbieżności, czyli
w tym przypadku 1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 kwi 2018, o 12:25 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Warszawa
Premislav napisał(a):
Oczywiście, że to coś daje. Być może za bardzoś przyzwyczaił się do szeregów liczbowych, gdzie istotnie granica odpowiedniego wyrażenia równa 1 w kryteriach Cauchy'ego czy d'Alemberta nic nam nie daje. Tutaj jednak interesuje Cię samo wyrażenie
\limsup_{n \to  \infty } \sqrt[n]{|a_n|}, jego odwrotność (jak ta granica wynosi zero, wtedy masz promień zbieżności nieskończoność) to będzie promień zbieżności, czyli
w tym przypadku 1.


To chyba zrozumiałem. Chodzi mi o te punkty na krańcach przedziału zbieżności, wydaje mi się, że tam już nie ma szeregu potęgowego skoro podstawiam wartości w miejsce x. I wtedy sprawdzam zbieżność dla tych konkretnych punktów, a z kryt. Cauchy'ego wychodzi 1, stąd moje wątpliwości :)
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 21 kwi 2018, o 12:28 
Użytkownik

Posty: 12306
Lokalizacja: Presslaw
bzdety, nie czytać:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 kwi 2018, o 12:32 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Warszawa
Tzn, przedział zbieżności wyszedł \left( - \frac{1}{5}, \frac{1}{5}  \right). Porównałem to ilorazowo z szeregiem \sum_{}^{}  \frac{1}{ n^{2} } i wtedy wychodzi, że na krańcach też jest zbieżny. Jest ok?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 21 kwi 2018, o 12:35 
Użytkownik

Posty: 12306
Lokalizacja: Presslaw
Ojej, co ja tam powyżej napisałem, to ja nawet nie wiem. :cry: Dziwne, bo niby się wyspałem.

Tak, jest OK.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 kwi 2018, o 12:38 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Warszawa
Ważne, że wszystko już jasne i mogę iść na kolokwium ze świadomością, że rozumiem :D
Dzięki za pomoc wszystkim :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 iloczyn Cauchy'ego szeregów, rozwinięcie w szereg Maclaurina  leszczu450  3
 badanie zbieżności jednostajnej ciągu funkcji  qba  1
 Promień zbieżności wielomianu  Hadar  8
 Badanie zbieżności szeregu - zadanie 32  Artisto  6
 Rozwinąć w szereg Maclaurina i znaleźć przybliżenie.  Mathix  9
cron
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl