szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 kwi 2018, o 13:21 
Użytkownik

Posty: 89
Lokalizacja: Wrocław
Obliczyć sumę szeregu funkcyjnego:

\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n+1}{2^n} \cdot (x+2)^n

Podstawiam t=x+2, wyliczam przedział zbieżności: t \in (-2,2). Potem całka, pochodna i mam wynik S(t)= \frac{t- \frac{1}{4}t^2 }{(1- \frac{1}{2}t)^2 }.
I teraz nie jestem pewien co dalej. Wracam z powrotem do zmiennej x, zatem x+2 \in (-2,2), odejmuję 2, więc x \in (-4,0) ?
Tak samo wracam z powrotem do zmiennej x przy sumie, zatem: S(x+2)= \frac{(x+2)- \frac{1}{4}(x+2)^2 }{(1- \frac{1}{2}(x+2))^2 } a chcę wyliczyć S(x) więc mam odjąć 2 tak jak przy przedziale zbieżności? Wtedy otrzymam to samo co przy S(t), a więc na pewno źle.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 kwi 2018, o 13:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1473
Lokalizacja: hrubielowo
Nie ma różnicy czy piszesz t czy x jeśli masz już poprawnie policzone (czego nie sprawdzam) S(t) to wystarczy podmienić t \rightarrow x by mieć S(x).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 kwi 2018, o 13:38 
Użytkownik

Posty: 12649
Ja bym jeszcze bardziej ułatwił sobie życie, wówczas trudniej o błąd rachunkowy (ale i tak dobrze Ci wyszło, tylko się na końcu pogubiłeś).
Podstawmy t=\frac{x+2}{2}, wówczas otrzymujemy szereg
\sum_{n=1}^{ \infty }(n+1)t^n, który jest zbieżny dla t \in(-1,1) (np. z Cauchy'ego-Hadamarda itd.).
Dla t \in (-1,1) mamy
\sum_{n=1}^{ \infty }(n+1)t^n= \sum_{n=1}^{ \infty }\left( t^{n+1}\right)'=\\=\left(  \sum_{n=1}^{ \infty }t^{n+1} \right)'=\left( \frac{t^2}{1-t}\right)'=\\= \frac{2t-t^2}{(1-t)^2}
i teraz wstawiamy t=\frac{x+2}{2} z powrotem, oczywiście x\in \left( -4,0\right).

\frac{(x+2)- \frac{1}{4}(x+2)^2 }{(1- \frac{1}{2}(x+2))^2 } to już jest wynik, nic z tym więcej nie trzeba robić.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 kwi 2018, o 14:00 
Użytkownik

Posty: 89
Lokalizacja: Wrocław
Janusz Tracz napisał(a):
Nie ma różnicy czy piszesz t czy x jeśli masz już poprawnie policzone (czego nie sprawdzam) S(t) to wystarczy podmienić t \rightarrow x by mieć S(x).


Sprawdziłem dla x=-2 i wyszło co innego niż ze wzoru który wyszedł mi lub Premislavovi po podstawieniu.

Premislav napisał(a):
\frac{(x+2)- \frac{1}{4}(x+2)^2 }{(1- \frac{1}{2}(x+2))^2 } to już jest wynik, nic z tym więcej nie trzeba robić.


czyli liczę S(t) ale zamiast pisać S(x+2)= \frac{(x+2)- \frac{1}{4}(x+2)^2 }{(1- \frac{1}{2}(x+2))^2 } piszę, że S(x)= \frac{(x+2)- \frac{1}{4}(x+2)^2 }{(1- \frac{1}{2}(x+2))^2 } ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 kwi 2018, o 14:16 
Użytkownik

Posty: 12649
Cytuj:
czyli liczę S(t) ale zamiast pisać S(x+2)= \frac{(x+2)- \frac{1}{4}(x+2)^2 }{(1- \frac{1}{2}(x+2))^2 } piszę, że  S(x)= \frac{(x+2)- \frac{1}{4}(x+2)^2 }{(1- \frac{1}{2}(x+2))^2 } ?

No tak.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 kwi 2018, o 15:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1473
Lokalizacja: hrubielowo
Miałem na myśli to że x czy t to tylko literki więc nie ma znaczne to jak je napiszesz jeśli określisz poprawnie promień zbieżności dla jeden z nich i będziesz się trzymał relacji między zmiennymi to musi wyjść poprawnie. Dla t= \frac{x+2}{2}

\left( \sum_{n=1}^{ \infty }(n+1)t^n= \frac{2t-t^2}{(1-t)^2}\right) \ \  \Leftrightarrow \ \  \left( \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n+1}{2^n}  \cdot (x+2)^n=\frac{(x+2)- \frac{1}{4}(x+2)^2 }{(1- \frac{1}{2}(x+2))^2 } \right)

Te zapisy są dokładnie takie same w kontekście problematyki. Możesz przechodzić z jednego do drugiego wyłącznie za pomocą relacji określonej (tak żeby było wygodnie) t= \frac{x+2}{2} oraz relacji odwrotnej x= 2t-2. Jeśli pierwsza sumę nazwiesz S(t) to ta druga to S\left( \frac{x+2}{2}\right) i na odwrót.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbadaj zbieżność szeregu...  mm34639  3
 x0 w obliczaniu zbieznosci szeregu potegowego  Naiya  2
 Zbieznosc szeregu potegowego  haxo  5
 Zbieznosc szeregu funkcyjnego  Gnomek  0
 Zbieżność jednostajna szeregu  kej.ef  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl