szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Dowód inkluzji
PostNapisane: 22 kwi 2018, o 15:42 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Kielce
Treść: Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A i B, A \subseteq B wtedy i tylko wtedy, gdy P(A)  \subseteq P(B).
Dowód: Z definicji zbioru potęgowego wiemy, że: P(A) = \{X: X \subseteq A \},
więc jeżeli x \in A, to dla każdego takiego elementu x istnieje zbiór X taki, że x \in X. Jeżeli A \subseteq B, to wtedy x \in B, więc x \in X,
co oznacza, że X \in P(B), więc P(A) \subseteq P(B), jeżeli A \subseteq B.
Czy jest do dobrze przerowadzony dowód?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Online
 Tytuł: Dowód inkluzji
PostNapisane: 22 kwi 2018, o 16:31 
Użytkownik

Posty: 12532
Jedna sprawa to fakt, że to jest dowód implikacji w jedną stronę, a druga sprawa to takie spostrzeżenie, iż ten dowód jest błędny (być może kryje się w tym jakiś słuszny zamysł, którego przekazanie udaremniło jakieś przeoczenie lub nieporadność językowa).
Weźmy X=\left\{ 1,2,\pi\right\}, \ A=\left\{ 1\right\}, \ B=\left\{ 1,2\right\}, \ x=1
i wówczas jakoś z tego, że x\in X i x \in A, zaś A\subseteq B nie wynika, że X\subseteq B.

-- 22 kwi 2018, o 15:41 --

Ja mam taką propozycję dowodu:
najpierw pokażę, że jeśli P(A)\subseteq P(B), to A \subseteq B. Ustalmy dowolne a \in A. Mamy rzecz jasna \left\{ a\right\} \in P(A), a skoro P(A)\subseteq P(B), to także \left\{ a\right\} \in P(B), czyli każdy element zbioru \left\{ a\right\} jest też elementem B, a więc a\in B.

Teraz udowodnię, że jeżeli A\subseteq B, to P(A)\subseteq P(B).
Ustalmy dowolne X \in P(A). Oczywiście dla każdego x \in X mamy x \in A, czyli też dla każdego x \in X jest x\in B, jako że A\subseteq B.
Zatem z definicji zawierania X\subseteq B, a więc X\in P(B), c.k.d.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 kwi 2018, o 16:52 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Kielce
Premislav napisał(a):
Jedna sprawa to fakt, że to jest dowód implikacji w jedną stronę, a druga sprawa to takie spostrzeżenie, iż ten dowód jest błędny (być może kryje się w tym jakiś słuszny zamysł, którego przekazanie udaremniło jakieś przeoczenie lub nieporadność językowa).
Weźmy X=\left\{ 1,2,\pi\right\}, \ A=\left\{ 1\right\}, \ B=\left\{ 1,2\right\}, \ x=1
i wówczas jakoś z tego, że x\in X i x \in A, zaś A\subseteq B nie wynika, że X\subseteq B.


Racja, moim błędem jest to, że nie podkreśliłem, że zbiór X, który użyłem do definiowania zbioru potęgowego, w dalszych rozważaniach nadal jest tym elementem zbioru P(A). Czy jeżeli stwierdzimy, że
Cytuj:
(..)to dla każdego takiego elementu x istnieje zbiórX \in P(A) (...)
to będzie prawidłowo?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 22 kwi 2018, o 17:19 
Użytkownik

Posty: 12532
Cytuj:
Racja, moim błędem jest to, że nie podkreśliłem, że zbiór X, który użyłem do definiowania zbioru potęgowego, w dalszych rozważaniach nadal jest tym elementem zbioru P(A)

No tak…

W zasadzie jest to OK, chociaż formalista przyczepiłby się, że mylisz kwantyfikatory (ponieważ patrząc literalnie, udowadniasz właściwie tyle, że dla dowolnego x\in A istnieje zbiór X\in P(B), do którego należy x), nie jest to też zbyt eleganckie podejście i (co można przeoczyć) pomijasz w ten sposób w rozważaniach zbiór pusty, do którego żaden element nie należy (choć co do niego sytuacja jest oczywista, ponieważ zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru). Jednak mnie to podejście wydaje się wyjątkowo nienaturalne: jeśli masz pokazać, że P(A)\subseteq P(B) to naturalnym jest ustalić dowolny element X\in P(A) i korzystając z założenia A\subseteq B wykazać, że zachodzi także X\in P(B). Nie ma w zasadzie powodu, by zaczynać od elementu zbioru A (pokazując implikację w tę stronę).
Ale może niepotrzebnie wypowiadam się w tym dziale, jako tępy zastosowaniec.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 kwi 2018, o 17:32 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Kielce
Premislav napisał(a):
Cytuj:
Racja, moim błędem jest to, że nie podkreśliłem, że zbiór X, który użyłem do definiowania zbioru potęgowego, w dalszych rozważaniach nadal jest tym elementem zbioru P(A)

No tak…

W zasadzie jest to OK, chociaż formalista przyczepiłby się, że mylisz kwantyfikatory (ponieważ patrząc literalnie, udowadniasz właściwie tyle, że dla dowolnego x\in A istnieje zbiór X\in P(B), do którego należy x), nie jest to też zbyt eleganckie podejście i (co można przeoczyć) pomijasz w ten sposób w rozważaniach zbiór pusty, do którego żaden element nie należy (choć co do niego sytuacja jest oczywista, ponieważ zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru). Jednak mnie to podejście wydaje się wyjątkowo nienaturalne: jeśli masz pokazać, że P(A)\subseteq P(B) to naturalnym jest ustalić dowolny element X\in P(A) i korzystając z założenia A\subseteq B wykazać, że zachodzi także X\in P(B). Nie ma w zasadzie powodu, by zaczynać od elementu zbioru A (pokazując implikację w tę stronę).
Ale może niepotrzebnie wypowiadam się w tym dziale, jako tępy zastosowaniec.


OK, czyli po pierwsze powinienem "lepiej nazywać elementy"(nie do końca rozumiem sformułowania, że "mylę kwantyfikatory"), co by wszystko wyglądało ładnie i nie mieszało osobie czytającej, a po drugie, utrudniam sobie życie prowadząc dowód "od tyłu" :? tak?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 22 kwi 2018, o 17:52 
Użytkownik

Posty: 12532
Uwaga odnośnie kwantyfikatorów miała chyba nieco inny sens, niż to odbierasz. Może spróbuję to napisać dokładniej (na niebiesko dodałem to, co pomyślałeś, a w pierwszym poście nie zapisałeś i co już wyjaśniliśmy):
hack2yrjoy napisał(a):
wiemy, że: P(A) = \{X: X \subseteq A \},
więc jeżeli x \in A, to dla każdego takiego elementu x istnieje zbiór X {\blue \in P(A)} taki, że x \in X

i dalej uzasadniasz, że ów X zawsze należy do P(A). Ale nie wiemy, że wybierając różne x\in A i do każdego x dobierając X, wyczerpiemy wszystkie elementy P(A) (a nawet jest to wątpliwe, ponieważ |A|<|P(A)|), ponieważ np. X=A jest „dobry" dla każdego x \in A.
W sumie niedobrze napisałem, ponieważ chciałem być zbyt miły, to nie jest OK.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 kwi 2018, o 18:06 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Kielce
Premislav napisał(a):
Uwaga odnośnie kwantyfikatorów miała chyba nieco inny sens, niż to odbierasz. Może spróbuję to napisać dokładniej (na niebiesko dodałem to, co pomyślałeś, a w pierwszym poście nie zapisałeś i co już wyjaśniliśmy):
hack2yrjoy napisał(a):
wiemy, że: P(A) = \{X: X \subseteq A \},
więc jeżeli x \in A, to dla każdego takiego elementu x istnieje zbiór X {\blue \in P(A)} taki, że x \in X

i dalej uzasadniasz, że ów X zawsze należy do P(A). Ale nie wiemy, że wybierając różne x\in A i do każdego x dobierając X, wyczerpiemy wszystkie elementy P(A) (a nawet jest to wątpliwe, ponieważ |A|<|P(A)|), ponieważ np. X=A jest „dobry" dla każdego x \in A.
W sumie niedobrze napisałem, ponieważ chciałem być zbyt miły, to nie jest OK.


Ok ok, już rozumiem: ten mój "dowód" jest dziurawy, przez złe "przydzielanie" elementów ze zbioru A do zbioru X. Dokładnie przeanalizuje twój dowód i spróbuje na przyszłość produkować mniej durszlaków xD
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 kwi 2018, o 22:59 
Administrator

Posty: 22651
Lokalizacja: Wrocław
Dodam tylko krótki komentarz.

Dowód Premislava to wzorcówka ze Wstępu do matematyki, natomiast "dowód" hack2yrjoy nie jest "dziurawy", tylko jest zupełnie do bani, bo niczego nie dowodzi - wygląda jak typowy "dowód na aferę".

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 dowód inkluzji - zadanie 2  askabaska2  1
 Dowód inkluzji  Premislav  3
 Dowód na złożenie bijekcji, spr. rodzaju przekształcenia  MalinaBB  9
 Dowód z supremum  VillagerMTV  2
 Relacje inkluzji  band  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl